2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积及应用模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析当|a|＝|b|＝0时，|a|＝|b|⇔|a＋b|＝|a－b|.当|a|＝|b|≠0时，|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，推不出|a|＝|b|.同样，由|a|＝|b|也不能推出a⊥b.故选D.2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝()A．－B．C．－2D．2答案A解析因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2＋λa·b＝3＋2λ＝0，解得λ＝－.3．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2答案A解析AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.4．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2AM，则CM·CA＝()A．18B．3C．15D．12答案A解析由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝3，AM＝BA，故CM·CA＝(CA＋AM)·CA＝CA2＋AM·CA＝9＋(CA－CB)·CA＝9＋CA2－CB·CA＝9＋9－0＝18，故选A.5．[2014·四川高考]平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.6．[2016·山东高考]已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．答案－5解析根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.7.已知a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝______.答案4解析因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos120°＝13，所以9＋|b|2－3|b|＝13，解得|b|＝4.8．如下图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则AD·BC＝________.答案－解析利用向量的加减法法则可知AD·BC＝(AB＋AC)·(－AB＋AC)＝(－AB2＋AC2)＝－.9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝.10．如图所示，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解(1)因为AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，又BC∥DA，且BC＝(x，y)，所以x(y－2)－y(x＋4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又AC⊥BD，所以AC·BD＝(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②联立①②化简，得y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝16.[B级知能提升](时间：20分钟)11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A．B．C．D．答案D解析由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－，所以θ＝.12．[2017·金版原创]在Rt△ABC中，C＝，B＝，CA＝2，则|2AC－AB|＝()A．5B．4C．3D．2答案B解析解法一：由已知可得AB＝＝4，A＝，则|2AC－AB|＝＝＝＝4，故选B.解法二：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，依题意C(0,0)，A(2,0)，B(0，2)，∴2AC－AB＝(－4,0)－(－2，2)＝(－2，－2)，∴|2AC－AB|＝＝4，故选B.13．[2015·福建高考]已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于________．...
