第3讲平面向量一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.因为∠ABC∈[0°，180°]，所以∠ABC＝30°.答案：A2．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2＜0，因而是充分条件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．答案：A3．已知单位向量a，b，满足a⊥(a＋2b)，则a与b夹角的余弦值为()(导学号54850109)A.B．－C.D．－解析：单位向量a，b满足a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝0，且|a|＝|b|＝1，因此a·b＝－，则cos〈a，b〉＝＝－.答案：D4．(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.解析：如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.答案：B5．(2017·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为()A．2B．4C．6D．8解析：令OA＝a，OB＝b，则b－a＝OB－OA＝AB，如图，因为b与b－a的夹角为30°，所以∠OBA＝30°，因为|a|＝|OA|＝3，所以由正弦定理＝得，|b|＝|OB|＝6·sin∠OAB≤6.答案：C二、填空题6．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：cos60°＝＝＝.解之得λ＝.答案：7．(2017·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量AB，AC的夹角为60°，则|OA|＝________．解析：向量AB，AC的夹角为60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2答案：8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比值为________．解析：设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM＝2MD.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比值为.答案：三、解答题9．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(导学号54850110)(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：(1)由题意，得|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，因为|a|＝|b|，所以4sin2x＝1.由x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cosB＋sinB，2sinB－2)，q＝(sinB－cosB，1＋sinB)，且p⊥q.(1)求B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.解：(1)因为p⊥q，所以p·q＝(cosB＋sinB)(sinB－cosB)＋(2sinB－2)(1＋sinB)＝0，则sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，即sin2B＝，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sinB＝，所以B＝60°.(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，所以S△ABC＝acsinB，即ac＝4.①由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又b＝2，所以a2＋c2＝8，②取立①②，解得a＝c＝2.11．(2017·淄博诊断)已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω＞0)，与f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号54850111)(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝1，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解：(1)f(x)＝sin2ωx－＋＝sin2ωx－cos2ωx＝sin，由于f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，得·＝－＝，所以ω＝1，则f(x)＝sin.令z＝2x－，函数y＝sinz单调增区间是，k∈Z，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得...
