考点37立体几何中的向量方法一、填空题1.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【解题提示】建立坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选C.如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为x,y,z轴,建立坐标系.令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以=(-1,1,-2),=(0,-1,-2).cosθ===.故选C.二、解答题2.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T18)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.【解题提示】(1)取AC的中点,构造中位线,利用线线平行证明线面平行.(2)建立空间直角坐标系,设出CD,利用向量法求得CD的长,然后用体积公式求得三棱锥E-ACD的体积.【解析】(1)设AC的中点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EG∥PB,且EG在平面AEC上,所以PB∥平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0),E,C(,m,0).所以=(,0,0),=,=.设平面ADE的法向量为=(x1,y1,z1),则=0,=0,解得一个=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为=(x2,y2,z2),则=0,=0,解得一个=(m,-,-m).因为cos=|cos<>|===,解得m=.设F为AD的中点,则PA∥EF,且PA==,EF⊥面ACD,即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=·S△ACD·EF=××××=.所以,三棱锥E-ACD的体积为.3.（2014·四川高考理科·Ｔ18）三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且．（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.【解题提示】本题主要考查简单空间图形的三视图、空间线面垂直的判断与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【解析】（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：平面平面，设为的中点，连接，于是，所以平面因为，分别为线段，的中点，所以，又，故假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线从而平面，这与矛盾所以为线段的中点（2）解法一：如图，作于，连接，由（Ⅰ）知，∥，所以．因为，所以为二面角的一个平面角．由（Ⅰ）知，，为边长为2的正三角形，所以==，由俯视图知，平面，因为平面，所以，因此在等腰直角中，,作于，在中，，所以,因为在平面内，，，所以∥，又因为为的中点，所以为的中点，因此.同理可得，．所以在等腰中，.故二面角的余弦值是.解法二：以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，于是，，设平面和平面的法向量分别为和由，设，则由，设，则所以二面角的余弦值.4.（2014·天津高考理科·Ｔ17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.【解析】方法一：依题意，如图以点为原点建立空间直角坐标系，可得，，，.由为棱的中点，得.（1）向量，，故.所以，.（2）向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（3）向量，，，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.方法二:（1）如图，取中点，连接，.由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（1）连接，由（1）有平面，得，（2）而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，，因此.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（3）如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值为.5.（...
