§9.3椭圆及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程Ⅲ2017天津,20;2016天津,19;2015广东,8;2014大纲全国,15选择题、填空题、解答题★★☆2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率Ⅲ2017课标全国Ⅰ,12;2017浙江,2;2016课标全国Ⅰ,5;2016课标全国Ⅲ,12;2015课标Ⅰ,5选择题、填空题、解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题Ⅱ2017北京,19;2016课标全国Ⅱ,21;2016四川,20;2015北京,20;2014陕西,20选择题、填空题、解答题★★★分析解读从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.1(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为00),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q2的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于3A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案124.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=.4由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得yH=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO|MA|=|MO|,⇔即(xM-2)2+=+,化简得xM=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-或.5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.5故所求...
