河北省高考数学同步复习 平面向量3旧人教版VIP专享VIP免费

同步检测训练一、选择题1．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点答案：D解析：由OA·OB＝OB·OC，得OB·OA－OB·OC＝0，即OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB.∴O是三角形三条高线的交点．故选D.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C解析： b＝－2a，∴a与b共线且异向，a＋b＝(－1，－2)，a＋b与b同向，∴cosa＋b，c＝＝， a，c与a＋b，c互补，∴a，c＝120°.故应选C.3．已知向量OM＝(3，－2)，ON＝(－5，－1)，则MN等于()A．(8,1)B．(－8,1)C．(4，－)D．(－4，)答案：D解析： OM＝(3，－2)，ON＝(－5，－1)，∴MN＝(ON－OM)＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝×(－8,1)＝(－4，)．故选D.4．(2009·河南驻马店二模)已知A、B、C三点共线，且AC＋2CB＝0，则OC()A．2OA－OBB．2OB－OAC．2OB－2OAD．2OA－2OB答案：B解析： AC＋2CB＝0，∴B为AC的中点，OC＝OA＋AC＝OA＋2(OB－OA)＝2OB－OA.故选B.5．(2009·黄冈中学一模)如下图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且AP＝AB＋AC，则△ABP与△ABC的面积之比等于()A．B.C.D.答案：C解析：由于AP=AB+AC，作PD∥AB，P到AB的距离等于D到AB的距离，而D到AB的距离是C到AB的距离的，则△ABP与△ABC的面积之比等于，故选C.6．(2009·湖北八校联考二·3)已知a、b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝1B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案：D解析：A、B、C三点共线的充要条件是AB＝tAC，λa＋b＝ta＋tμb，λ＝t,1＝tμ，则λμ＝1，故选D.7．(2009·湖北荆州质检二)已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角θ为()A.B.C.D.用心爱心专心答案：C解析：|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcosθ＋1＝(2t＋cosθ)2＋sin2θ，由题意得cosθ＝－，则向量a、b的夹角θ为，故选C.8．(2009·湖南十二校二模)已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数λ1，λ2，λ3，使λ1OA＋λ2OB＋λ3OC＝0，则三个角∠AOB、∠BOC、∠COA()A．都是锐角B．至多有两个钝角C．恰有两个钝角D．至少有两个钝角答案：D解析：λ1OA＋λ2OB＋λ3OC＝0，两边同乘OA、OB、OC求数量积得λ1OA2＋λ2OA·OB·＋λ3OA·OC＝0，λ1OA·OB＋λ2OB2＋λ3OB·OC＝0，λ1OA·OC＋λ2OB·OC＋λ3OC2＝0，则OA·OB、OA·OC至少有一个是负值，OA·OB、OB·OC至少有一个是负值，OA·OC、OB·OC至少有一个是负值，则OA·OB、OB·OC、OA·OC至少有两个是负值，三个角∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角，故选D.二、填空题9．(2009·北京西城4月)设O为坐标原点，向量OA＝(1,2)．将OA绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量OB，则2OA＋OB的坐标为________．答案：(0,5)解析：设OB＝(x，y)(x<0)，则解得OB＝(－2,1)，则2OA＋OB的坐标为(0,5)，故填(0,5)．10．(2008·天津·理·14)如右图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2)，则AD·AC=.答案：3解析：如右图所示，设AC、BD相交于点O，则AD=AO+OD=AC+BD=(,1)+(-,1)=(-1,2)．又AC=(1,2)，∴AD·AC=(-1,2)·(1,2)=-1+4=3.11．(2008·江西·理·13)直角坐标平面内三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则AE·AF＝________.答案：22解析： BC＝(6,9)，∴BE＝BC＝(2,3)，BF＝BC＝(4,6)．又AB＝(2，－4)，∴AE＝AB＋BE＝(4，－1)，AF＝AB＋BF＝(6,2)，∴AE·AF＝4×6＋(－1)×2＝22.三、解答题12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．(1)证明： (a－b)·c＝a·c－b·c＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)解：|ka＋b＋c|>1⇔|ka＋b＋c|2>1，⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. |a|＝|b|＝|c|＝1，且a、...