湖北省武汉市江夏区山坡中学高三数学复习系列《知能提升训练》4一、选择题图1－4－11．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图1－4－1所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()【解析】由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【答案】C2．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()A．没有零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点【解析】当a>2时，f(0)f(2)＝－4a<0，且当x∈(0,2)时，f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)<0，即函数在区间(0,2)上单调递减，因此函数在(0,2)上有且只有1个零点．【答案】B3．(2011·合肥模拟)下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是()【解析】注意到当f′(x)>0时，函数f(x)在相应的区间内是增函数；当f′(x)<0时，函数f(x)在相应的区间内是减函数，结合各选项，逐一分析可知，选C.用心爱心专心【答案】C4．函数f(x)＝的最大值为()A．eB.C．2eD.【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝＝.令f′(x)＝0得x＝，且当00，当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在x＝处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值f()＝.【答案】D5．(2011·福建高考)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.【答案】D二、填空题6．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0，]上的单调递减区间是__________．【解析】f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)≤0，即1－2sinx≤0，所以sinx≥.又∵x∈[0，]，所以≤x≤，即减区间是[，]．【答案】[，]7．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为__________．【解析】∵f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2，又由已知得g′(1)＝2，用心爱心专心∴f′(1)＝2＋2＝4.【答案】48．(2011·南京模拟)若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝__________.【解析】依题意，设切点坐标是(x0，y0)，则有由此得2－3＝2lnx0，x0＝e－，k＝＝＝2.【答案】2三、解答题9．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，若函数f(x)＝x4－mx3－x2为区间(－1,3)上的“凸函数”，试确定实数m的值．【解】∵f(x)＝x4－mx3－x2，∴f′(x)＝x3－mx2－3x，∴f″(x)＝x2－mx－3.依题意x2－mx－3<0在(－1,3)上恒成立．令g(x)＝x2－mx－3，则有，即解得于是m＝2，即实数m的值等于2.10．(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【解】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；用心爱心专心当0
