第3讲平面向量的数量积1．(2019年福建泉州质检)如图X431，已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AB·(CB＋BA)的值为()图X431A.B．－C.D．－2．(2016年新课标Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°3．(2017年浙江)如图X432，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则()图X432A．I1|BC|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2019年新课标Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.7．(2018年河南豫南豫北联考)已知a＝(λ，－6)，b＝(－1,2)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．8．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是()A．a为单位向量B．b为单位向量C．a⊥bD．(4a＋b)⊥BC9．(多选)在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可以是()A．－1B.C.D.10．(2017年山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若AB＝a，AC＝b，作△ABC，求△ABC的面积．12．已知平面上有三点A，B，C，且向量BC＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．(1)若点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．第3讲平面向量的数量积1．D解析：由题图知，AB与CB的夹角为120°.∴AB·(CB＋BA)＝AB·CB＋AB·BA＝cos120°－12＝－.2．A解析：由题意，得cos∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝30°.故选A.3．C解析：∵∠AOB＝∠COD>90°，∴OB·OC>0>OA·OB>OC·OD(理由OA|BC|⇔|AB＋AC|>|AB－AC|⇔|AB＋AC|2>|AB－AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角．故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的充分必要条件，故选C.6.解析：∵c＝2a－a，a·b＝0，∴a·c＝2a2－a·b＝2，|c|2＝4|a|2－4a·b＋5|b|2＝9，∴|c|＝3，∴cos〈a，c〉＝＝＝.7．(－12,3)∪(3，＋∞)解析：a·b＝－λ－12<0⇒λ>－12，若a、b夹角为π，则存在k<0使a＝kb，即(λ，－6)＝(－k,2k)，∴∴λ＝3，∴使a、b夹角为钝角的λ的取值范围是(－12,3)∪(3，＋∞)．8．AD9.BCD10.解析：(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2，|e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××cos60°＝，解得λ＝.11．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.同理，|a－b|＝＝.(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)，知∠BAC＝θ＝120°，|AB|＝|a|＝4，|AC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝×|AC|×|AB|×sin∠BAC＝×3×4×sin120°＝3.12．解：(1)由点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量BC与AC平行．∵BC∥AC，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.(2)∵BC＝(2－k,3)，∴CB＝(k－2，－3)．∴AB＝AC＋CB＝(k,1)．∵△ABC为直角三角形，则①当∠BAC是直角时，AB⊥AC，即AB·AC＝0.∴2k＋4＝0.解得k＝－2.②当∠ABC是直角时，AB⊥BC，即AB·BC＝0.∴k2－2k－3＝0.解得k＝3或k＝－1.③当∠ACB是直角时，AC⊥BC，即AC·BC＝0.∴16－2k＝0.解得k＝8.综上所述，k∈{－2，－1,3,8}．
