专题51不等式基本不等式1【考点讲解】一、具本目标：基本不等式：.（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．二、知识概述：基本不等式1.如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.推论：（）.2.如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；.3..【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2），，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.常见题型：1.利用基本不等式证明：已知、、都是正数，求证：2.利用基本不等式求最值：（1）已知求函数的最小值；拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.【解析】（1）由.,当且仅当,即时,函数取得最小值.（2）已知,求函数的最大值.【解析】由得,当且仅当,即时,函数取得最大值.【真题分析】1.【2017山东，文】若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为.【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点（1,2）可得,所以.当且仅当时等号成立.【答案】2.【2017天津，理12文13】若，，则的最小值为___________.【答案】3.【2019优选题】若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．【解析】本题考点是基本不等式的运用.(1)方法一由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋＝5.当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.方法二由x＋3y＝5xy得x＝， x>0，y>0，∴y>，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4(y－)≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.【答案】54.【优选题】已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.【答案】5.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用.时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，抛物线的开口向上，根据题意可得即...由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..【答案】B6.【2016优选题】已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是()A．9B．8C．4D．2【答案】A7.【2016优选题】设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．【解析】本题考点是...
