高考数学 热门考点与解题技巧 考点12 数列考场高招大全-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点12数列热门题型题型1等差数列与等比数列的基本量题型2等差、等比数列的性质及其应用题型3证明数列是等差、等比数列题型4数列求和与求通项题型5数列与不等式题型1等差数列与等比数列的基本量例1（1）（2017全国3理14）设等比数列满足，，则______．（2）（2017全国1理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式，共涉及到五个量，，，或，，，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用，或建立方程是基本方法。变式1.（2015重庆理2）在等差数列中，若，，则（）.A.B.0C.1D.6解析由等差中项知：，所以.故选B.变式2.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则．题型2等差、等比数列的性质及其应用例2.（1）（2015广东理10）在等差数列中，若，则．（2）（2015全国Ⅱ理4）等比数列满足，，则（）A.B.C.D.解析：（1）因为是等差数列，所以，，即，所以．故应填10．（2）由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.【解题技巧】（1）等比数列中常用的性质：；若，则．（2）等差数列中常用的性质：；若，则．（3）在等差数列中，为其前项和，则：①数列，，，…也是等差数列；②为等差数列；③；；④若，分别是等差数列，的前项和，则．变式1.（2015北京理6）设是等差数列，下列结论中正确的是（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则变式2.（2016全国乙理15）设等比数列满足，，则的最大值为.解析由，得，又，得，故.解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.题型3证明数列是等差、等比数列例3.（2016全国丙17）已知数列的前项和，.其中.（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求.（2）由（1）得.由，得，即，解得.【解题技巧】证明数列是等差数列或等比数列的方法一般有两种：（1）定义法：，则是等差数列；，则是等比数列；（2）等差（比）中项：若，则是等差数列；若，则是等比数列.变式1.（2014新课标1理17）已知数列的前项和为，，，，其中为常数.（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.解：（1）由题设，两式相减得由于，所以（II）由题设，，，可得（2）由（I）知，，令，解得故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，，所以，.因此存在，使得数列为等差数列.题型4数列求和与求通项例4.（2015湖北理18）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前n项和．解析：（1）由题意有，即解得或故或【解题技巧】（1）数列求通项公式基本的方法是利用基本量，，或，，，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用，或建立方程是基本方法。（2）错位相减法求数列的前n项和是常见的考点。例5.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解析（1）由①可得②式①－式②得．又因为，所以．当时，，即，解得或（舍去），所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．（2）由可得．记数列前项和为，则．【解题技巧】（1）利用与的关系求数列的通项公式，注意验证是否满足；（2）裂项相消法求和是一种常见的数列求和方法，将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，从而达到求和的目的。常见的裂项相消的方式有：①；②；③；④；变式1.（2017全国3理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则数列前6项的和为（）A．B．C．3D．8解析：因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.变式2.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为．解析解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐．解法二：由题意得，，…，，故累加得，从而，当时，满足通项．故，则有．变式3.（2015全国Ⅱ理16）设是数列的前项和，且，则_________．变式4.（2015山东理18）设数列的前项和...