阶段强化训练(一)一、选择题1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是()A．330°B．210°C．150°D．30°B[因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.]2．cos420°的值为()A.B．－C.D．－A[cos420°＝cos(360°＋60°)＝cos60°＝，故选A.]3．已知角θ的终边上一点P(a，－1)(a≠0)，且tanθ＝－a，则sinθ的值是()A．±B．－C.D．－B[由题意得tanθ＝＝－a，所以a2＝1，所以sinθ＝＝－.]4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是()A．1B．2C．3D．4C[设扇形的半径为r，中心角为α，根据扇形面积公式S＝lr得6＝×6×r，所以r＝2，所以α＝＝＝3.]5．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为()A.B.C．－D．－C[∵已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，∴1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝，故sinθ－cosθ＝－＝－＝－，故选C.]二、填空题6．对于锐角α，若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝.[由题意可得：cos2α＋2sin2α＝＝＝.]7．已知sinα＝，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为．[cos(3π－α)＝－cosα＝－(－)＝＝.]8．函数y＝的定义域是．(k∈Z)[作出三角数线如图，由函数可知－tanx≥0中tanx≤，而对应角为，由图中阴影部分可得定义域为(k∈Z)．]三、解答题9．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝，且α∈，求sinα与cosα的值．[解]由已知条件可得sinαcosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝.∵x∈，∴sinα＞cosα，∴解方程组得sinα＝，cosα＝.10．(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；(3)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sinα＋cosα的值．[解](1)∵α终边过点P(4，－3)，∴r＝|OP|＝5，x＝4，y＝－3，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝2×＋＝－.(2)∵α终边过点P(4a，－3a)(a≠0)，∴r＝|OP|＝5|a|，x＝4a，y＝－3a.当a>0时，r＝5a，sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－；当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝＝－，∴2sinα＋cosα＝.综上，2sinα＋cosα＝－或.(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－.1．设α是第三象限的角，且＝－cos，则的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[∵α是第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.∴在第二或第四象限．又∵＝－cos，∴cos＜0.∴是第二象限的角．]2．化简得()A．sin2＋cos2B．cos2－sin2C．sin2－cos2D．±cos2－sin2C[＝＝，∵＜2＜π，∴sin2－cos2＞0.∴原式＝sin2－cos2.]3．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则的最大值为．4[由已知可得弧长l＝2r，周长C＝4r，面积S＝×lr＝r2，∴＝＝－＋＝－＋4，故的最大值为4.]4．已知角α终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值是．[角α终边上一点P的坐标为，即，tanα＝＝－，且α为第四象限角，所以角α的最小正值是.]5．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解]假设存在角α，β满足条件，则由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝，∴cosα＝.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，代入②得：cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝，代入①可知成立；当α＝－时，代入②得cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝，此时代入①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件．
