高中数学 课时素养评价十四 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

课时素养评价十四余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·绍兴高一检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A.240mB.180mC.120mD.30m【解析】选C.如图，在△ACD中，∠CAD=90°-30°=60°，AD=60m，所以CD=AD·tan60°=60(m).在△ABD中，∠BAD=90°-75°=15°，所以BD=AD·tan15°=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).2.一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.南偏东15°C.北偏东75°或南偏东15°D.以上方位都不对【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB=32×=16海里，BS=8海里，∠A=30°.在△ABS中，由正弦定理得=，sinS===，所以S=45°或135°，所以B=105°或15°，即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°.3.一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()A.北偏东80°，20(+)B.北偏东65°，20(+)C.北偏东65°，20(+)D.北偏东80°，20(+)【解析】选C.由题可知∠ABC=105°，在△ABC中，AB=40海里，BC=40海里，所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos(60°+45°)=3200+1600，所以AC=20(+)海里.=⇒sin∠BAC==，所以∠BAC=45°，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65°，路程为20(+)海里.【加练·固】有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A.5mB.10mC.10mD.10m【解析】选C.如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，∠B′=30°，∠BAB′=75°-30°=45°，AB=10m.由正弦定理，得BB′===10(m).所以坡底要延伸10m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是()A.100mB.400mC.200mD.500m【解析】选D.设AB=xm，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，所以BC=AB=xm；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，所以BD=xm.在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500m，由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos120°，解得x=500.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019·宜昌高一检测)如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为________米.【解析】在△ADC中，∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理，得AC=，所以AB=ACsin60°==10(米).答案：106.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x=________cm.【解析】如图所示，在△ABC中，AB=xcm，BC=10cm，∠ABC=180°-105°=75°，∠BCA=180°-135°=45°，所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理得：=，所以x=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)(2019·眉山高一检测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100m，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.(1)求A、C两地的距离.(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】(1)由题意，设AC=xm，则BC=x-×340=(x-40)m.在△ABC中，由余弦定理，得BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC，即(x-40)2=10000+x2-100x，解得x=420.所以A，C两地间的距离为420m.(2)在Rt△ACH中，AC=420m，∠CAH=30°，所以CH=ACtan∠CAH=140m.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140m.8.(14分)(2019·宜昌高一检测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处...