第1节数列的概念与简单表示法1．已知数列1，，，，…，，则3是它的()A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项解析：B[观察知已知数列的通项公式是an＝，令an＝＝3＝，得n＝23.]2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1解析：A[当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.]3．(2019·聊城市模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为()A．180B．200C．128D．162解析：B[由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2.则此数列第20项＝2×102＝200.]4．(2019·咸阳市二模)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝()A．nB．n2C.D.解析：B[∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n，∴an＝n2，(n≥2)．又当n＝1时，＝＝1，∴an＝n2.n∈N*.故选B.]5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}()A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项解析：C[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数，则an＝t2－t＝2－，由复合函数单调性知an先递减后递增．故有最大项和最小项，选C.]6．(2019·唐山市一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.解析：∵Sn＝，a4＝32，∴a4＝S4－S3＝－＝32，∴a1＝.答案：7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．解析：∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.答案：88．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.答案：9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.由Sn＝an－1，①可知当n≥2时，Sn－1＝an－1－1，②①－②，得an＝－，所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，所以＝3，故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1.(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1.当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，…，b3＝b2＋2·31，b2＝b1＋2·30，将以上n－1个式子相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×＝3n－1＋4.当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1，所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．
