第一节平面向量的概念及其线性运算时间：45分钟分值：100分一、选择题1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量答案C2．下列命题中是真命题的是()①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；②在△ABC中，AB＋BC－AC＝0；③在四边形ABCD中，(AB＋BC)－(CD＋DA)＝0；④在△ABC中，AB－AC＝BC.A．①②B．②③C．②④D．③④解析①是真命题．因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0；所以a－b与b－a是相反向量．②真命题．因为AB＋BC－AC＝AC－AC＝0；所以命题成立．③假命题．因为AB＋BC＝AC，CD＋DA＝CA，所以(AB＋BC)－(CD＋DA)＝AC－CA＝AC＋AC≠0，所以该命题不成立．④假命题．因为AB－AC＝AB＋CA＝CB≠BC，所以该命题不成立，故选A.答案A3．如图，在△ABC中，|BA|＝|BC|，延长CB到D，使AC⊥AD，若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ的值是()A．1B．2C．3D．4解析由题意可知，B是DC中点，故AB＝(AC＋AD)，即AD＝2AB－AC，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.答案C4．设a，b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|解析将|a＋b|＝|a|－|b|两边都平方得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2|a|·|b|，∴2a·b＝－2|a|·|b|⇒2|a|·|b|cosθ＝－2|a|·|b|，∴cosθ＝－1，即a与b共线，故选C.答案C5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°.答案A6．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是()A．[0,1]B．[0，]C.D.解析由题意可求得AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC.因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC(0≤λ≤1)．因为AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.答案C二、填空题7．(2015·重庆模拟)若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．解析因为AB＝3a，CD＝－5a，所以AB＝－CD，AB，CD共线，所以AB，CD平行且不相等，又有|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案等腰梯形8．(2014·陕西卷)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.解析由a∥b，得sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ，因为0<θ<，所以cosθ≠0，整理得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝.答案9．已知向量c＝＋，其中a，b均为非零向量，则|c|的取值范围是________．解析与均为单位向量，当它们共线同向时，|c|取最大值2，当它们共线反向时，|c|取最小值0，故|c|的取值范围是[0,2]．答案[0,2]三、解答题10．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a、b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b.AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．11．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb.整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．1．(2015·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，OA0＝a，OA2013＝b，用a，b表示OA0＋O...
