高中数学 课时分层作业19 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(十九)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB可以表示为()A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋jC[AB＝(4i＋2j)－(2i＋3j)＝2i－j.]2．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c等于()A．3a－bB．3a＋bC．－a＋3bD．a＋3bA[令c＝xa＋yb，则解得x＝3，y＝－1，故c＝3a－b.]3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)D[由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)D[因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．]5．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若BP＝BA＋mBC，且点P在y轴上，则m＝()A．－2B．C．－D．2B[设P(x，y)，由题意AP＝mBC，∴∴P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，∴－5m＋1＝0，m＝.]二、填空题6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝6，∠xOA＝150°，向量OA的坐标为．(－3，3)[设OA＝(x，y)，则x＝6cos150°＝－3，y＝6sin150°＝3，故向量OA的坐标为(－3，3)．]7．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为．(5，4)[令B(x，y)，则AB＝(x＋1，y＋5)．又AB＝3a＝(6，9)，所以所以所以点B的坐标为(5，4)．]8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝．4[以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]三、解答题9．已知点A(－1，2)，B(2，8)及AC＝AB，DA＝－BA，求CD的坐标．[解]因为A(－1，2)，B(2，8)，所以AB＝(2，8)－(－1，2)＝(3，6)，BA＝(－3，－6)，所以AC＝AB＝(1，2)，DA＝－BA＝(1，2)，AD＝(－1，－2)，所以CD＝AD－AC＝(－1，－2)－(1，2)＝(－2，－4)．10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18)．[能力提升练]1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2，6)B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)D[由条件可知，d＝－[4a＋4b－2c＋2(a－c)]＝－(6a＋4b－4c)＝(－2，－6)，故d＝(－2，－6)．]2．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为．1[由题意知OA＝(－3，0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)．由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝－，即－＝－，所以λ＝1.]