课时分层作业(二十一)向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－bB[∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0.即a⊥b.]2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|等于()A.B.C.D.B[由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝，故选B.]3．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝()A．20B．－20C．20D．－20B[BC·CA＝|BC||CA|cos120°＝5×8×＝－20.]4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.B[∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.]5．已知|OA|＝1，|OB|＝k，∠AOB＝，点C在∠AOB内，OC·OA＝0，若OC＝2mOA＋mOB(m≠0)，则k等于()A．1B．2C.D．4D[由OC·OA＝0，得(2mOA＋mOB)·OA＝0，即2m·OA2＋m·|OA|·|OB|·cos＝0，即2m＋m·k·＝0，解得k＝4.]二、填空题6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．[∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝.]7．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．[由题意a·b＝0即有(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，∴ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0.又|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，∴k－2＋(1－2k)·cos＝0，∴k－2＝，∴k＝.]8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.5或－8[∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2)2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝.10．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．[解]如图，a＋b＋c＝0.则a＋b＝－c，即(a＋b)2＝(－c)2，故a2＋2a·b＋b2＝c2.①同理，a2＋2a·c＋c2＝b2,②b2＋2b·c＋c2＝a2.③由①－②，得b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，故|b|＝|c|.同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，故△ABC为等边三角形．[等级过关练]1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.B[因为Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b夹角)．若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤.又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.]2．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.A[由题意cos〈a，b〉＝>0，即1－2λ>0，得λ<.∵a，b不能共线，即a≠b，∴λ≠－2.∴λ∈(－∞，－2)∪.]3．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．22[由题意知，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64，解得AB·AD＝22.]4．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则CA·CB等于________．3[∵2OA＋AB＋AC＝0，∴OA＋AB＋OA＋AC＝0，∴OB＋OC＝0，即OB＝－OC.∴O，B，C共线，BC为圆的直径．∴AB⊥AC.又|OA|＝|AB|，∴|OA|＝|AB|＝1，|BC|＝2，|AC|＝.故∠ACB＝.则CA·CB＝×2cos＝3.]5．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，|a|＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝，∴cosθ＝＝－×＝－.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.
