高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理课时规范训练 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形3.7正弦定理和余弦定理课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C2．(2016·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－<0，又 C∈(0，π)，∴C∈，∴△ABC为钝角三角形．答案：C3．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，A＝60°，则a＝()A.B．2C．4D．不确定解析：由已知及正弦定理得＝2，a＝2sinA＝2sin60°＝，故选A.答案：A4．(2015·高考北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cosA＝， a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cosA＝2××＝1.答案：15．(2015·高考重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝__________.解析： 3sinA＝2sinB，∴3a＝2b.又a＝2，∴b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.答案：46．(2016·苏北四市联考)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．解析：由S△ABC＝得×3×ACsin120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.答案：77．(2015·高考课标卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理，得＝，＝.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝，所以∠B＝30°.8．(2016·陕西安康一模)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且＝.(1)求角C的大小；(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a2＋b2的值．解： ＝，∴＝，∴sinC＝. △ABC是锐角三角形，∴C＝.(2)S△ABC＝absinC＝， C＝，∴ab＝6.由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，∴a2＋b2＝13.[B级能力突破]1．(2016·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()A.B.C.D.解析：根据正弦定理：＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝＝，故B＝，故选C.答案：C2．(2014·高考江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A．3B.C.D．3解析： c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案：C3．(2016·宜昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由＝及sinC＝2sinB，得c＝2b，∴cosA＝＝＝. A为△ABC的内角，∴A＝30°.答案：A4．(2016·云南第一次检测)已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于__________．解析：依题意可得sinB＝，又S△ABC＝acsinB＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16.答案：165．(2014·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析：由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－.答案：－6．已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，则c＝________，S△ABC＝________.解析：法一：由正弦定理得＝，∴sinA＝sin60°＝.∴cosA＝±＝±.∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝或.由＝，得c1＝5，c2＝3.∴S△ABC＝ac1sinB＝10或S△ABC＝ac2sinB＝6.法二...