课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·兰州模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A． A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A．]4．(2018·石家庄模拟)△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()【导学号：00090111】A．B．C．或D．或D[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝××1×＝.当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝××2×＝.总上之，△ABC的面积等于或.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A．B．C．D．D[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝. B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin∠BAC＝，故选D．]二、填空题6．(2018·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【导学号：00090112】图361[ sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]7．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则△ABC的面积为________．[由sinC＝cosC得tanC＝＞0，所以C＝.根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sinA＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.]8．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.[由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA．∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B．∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB．又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.]三、解答题9．(2018·陕西八校联考)已知△ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA＝ccosB＋bcosC．(1)求cosA的值；(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．[解](1) 2acosA＝ccosB＋bcosC，∴2sinA·cosA＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinA·cosA＝sin(B＋C)＝sinA．4分又0＜A＜π，∴sinA≠0.∴2cosA＝1，cosA＝.6分(2)由(1)知cosA＝，∴sinA＝. △ABC内接于单位圆，＝2R＝2，∴a＝2sinA＝.8分由a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1，10分∴S△ABC＝bcsinA＝×1×＝.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直．(1)求sinA的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．【导学号：00090113】[解](1) m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sinBsinC＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝.3分根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，由余弦定理得cosA＝＝. A是△ABC的内角，∴sinA＝＝.6分(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分又 a＝2，∴bc≤10. △ABC的面积S＝bcsinA＝≤4，∴△ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A．B．C．D．C[ b＝c，∴B＝C．又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，即sin2A＝2sin2(1－sinA)，即sin2A＝2cos2(1...
