中档题保分练(一)1．(2018·海淀区模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an(n∈N*)，求{}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝2时，由2Sn＝Sn－1＋1及a1＝，得2S2＝S1＋1，即2a1＋2a2＝a1＋1，解得a2＝.又由2Sn＝Sn－1＋1，①可知2Sn＋1＝Sn＋1，②②－①得2an＋1＝an，即an＋1＝an(n≥2)，且n＝1时，＝适合上式，因此数列{an}是以为首项，公比为的等比数列，故an＝(n∈N*)．(2)由(1)及bn＝an(n∈N*)，可知bn＝logn＝n，所以＝＝－，故Tn＝＋＋…＋＝＝1－＝.2．(2018·滨州模拟)在如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB＝2a，∠ABC＝120˚，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2a，平面BDEF⊥底面ABCD.(1)证明：平面AEF⊥平面AFC；(2)求二面角EACF的余弦值．解析：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，因此AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF.又BD⊥DE，所以DE⊥平面ABCD，由AB＝2a，DE＝2BF＝2a，∠ABC＝120˚，可知AF＝＝a，BD＝2a，EF＝＝a，AE＝＝2a，从而AF2＋EF2＝AE2，故EF⊥AF.又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC.又EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC.(2)取EF中点G，由题可知OG∥DE，所以OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)，则O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(－a,0,0)，E(0，－a,2a)，F(0，a，a)，所以AE＝(0，－a,2a)－(a,0,0)＝(－a，－a,2a)，AC＝(－a,0,0)－(a,0,0)＝(－2a,0,0)，EF＝(0，a，a)－(0，－a,2a)＝(0,2a，－a)．由(1)可知EF⊥平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为EF＝(0,2a，－a)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即即令z＝，得y＝4，所以n＝(0,4，)．从而cos〈n，EF〉＝＝＝.故所求的二面角EACF的余弦值为.3．(2018·绵阳模拟)某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)，根据以上抽样调查数据，回答下列问题：(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；(2)若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数ξ的分布列与数学期望．解析：(1)从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为＝，则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有800×＝448.(2)这100名学生成绩的平均分为×(32×100＋56×90＋7×80＋3×70＋2×60)＝91.3，因为91.3＞90，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关．(3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数ξ的可能值为0,1,2,3.则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.因此可得ξ的分布列为：ξ0123P则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，a＞0)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4sinθ.(1)试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；(2)当a＝3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|.解析：(1)曲线C1：，消去参数t可得普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝a2.曲线C2：ρ＝4sinθ，两边同乘ρ.可得普通方程为x2＋(y－2)2＝4.把(y－2)2＝4－x2代入曲线C1的普通方程得：a2＝(x－3)2＋4－x2＝13－6x，而对C2有x2≤x2＋(y－2)2＝4，即－2≤x≤2，所以1≤a2≤25.故当两曲线有公共点时，a的取值范围为[1,5]．(2)当a＝3时，曲线C1：(x－3)2＋(y...
