中档题保分练(一)1．(2018·海淀区模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，2Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an(n∈N*)，求{}的前n项和Tn
解析：(1)当n＝2时，由2Sn＝Sn－1＋1及a1＝，得2S2＝S1＋1，即2a1＋2a2＝a1＋1，解得a2＝
又由2Sn＝Sn－1＋1，①可知2Sn＋1＝Sn＋1，②②－①得2an＋1＝an，即an＋1＝an(n≥2)，且n＝1时，＝适合上式，因此数列{an}是以为首项，公比为的等比数列，故an＝(n∈N*)．(2)由(1)及bn＝an(n∈N*)，可知bn＝logn＝n，所以＝＝－，故Tn＝＋＋…＋＝＝1－＝
2．(2018·滨州模拟)在如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB＝2a，∠ABC＝120˚，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2a，平面BDEF⊥底面ABCD
(1)证明：平面AEF⊥平面AFC；(2)求二面角EACF的余弦值．解析：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，因此AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF
又BD⊥DE，所以DE⊥平面ABCD，由AB＝2a，DE＝2BF＝2a，∠ABC＝120˚，可知AF＝＝a，BD＝2a，EF＝＝a，AE＝＝2a，从而AF2＋EF2＝AE2，故EF⊥AF
又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC
又EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC
(2)取EF中点G，由题可知OG∥DE，所以OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)，则O(0,0,0)，A(a,0,0)
