函数方程稳妥实用一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．【例1】设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．【解析】问题可以变成关于m的不等式：即(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则即解得
lnx2－lnx1B．x1D．x2g(x2)，∴x2>x1，故选C．2．已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)＜0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式＞1的解集为________．【答案】(－∞，0)【解析】 函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，∴g(0)＝g(4)＝1.设f(x)＝，则f′(x)＝＝.又g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴f(x)在R上单调递减．又f(0)＝＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0.3．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．【解析】 t∈[，8]，∴f(t)∈.原题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，则即解得x>2或x<－1.∴x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).二、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．【例2】(1)若方程cos2x－sinx＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．【答案】(－1,1]【解析】法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sinx，设f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈，显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝2－，且由x∈知sinx∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．法二：令t＝sinx，由x∈，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于即所以－1
