考点46坐标系与参数方程一、填空题1.(2016·天津高考理科·T14)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.【解题指南】首先写出抛物线的标准方程,得到焦点坐标与准线方程,由抛物线的定义得出AB=AF,得出A点的坐标,利用△AEB∽△FEC得出AE与AF的关系,从而表示出△AEC与△AFC的面积关系,进而求出p的值.【解析】x,y满足函数y2=2px,所以F,CF=3p,AB=AF=p,可得:A.易知△AEB∽△FEC,,故S△ACE=S△ACF=×3p×p×=p2=3,所以p2=6.因为p>0,所以p=.答案:二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T23)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T23)选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2.①所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.(2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T23)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解题指南】(1)给出的圆的方程为普通方程,要求其极坐标方程,直接套用公式转化即可.(2)由直线l的参数方程可知,直线过原点,可写出其普通方程,利用几何法建立斜率的方程,解方程即可.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:,即,整理得k2=,则k=±.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T23)与(2016·全国卷3·理科·T23)相同选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)由得+y2=1.因为ρsin=ρsinθ+ρcosθ=2,所以x+y=4.所以C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为,因为C2是直线,所以的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.5.(2016·江苏高考T21)C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B的坐标.【解析】直线l方程化为普通方程为x-y-=0,椭圆C方程化为普通方程为x2+=1,联立得⇒或因此AB=.
