第23课利用导数来研究函数的单调性1．函数的单调性：函数在某个区间内可导①若，则为增函数；若，则为减函数；若恒成立，则为常值函数；②若且不恒成立，则为增函数；若且不恒成立，则为减函数；③若为增函数，则；若为减函数，则．2.函数的增减性的快慢（1）若，且的值越来越大，则增加的越来越快；若，且的值越来越小，则增加的越来越慢（2）若，且的值越来越大，则减少的越来越快；若，且的值越来越小，则减少的越来越慢3.求可导函数单调区间的步骤①求的定义域；②求；③令，得递增区间；令，得递减区间．4．恒成立问题①恒成立②恒成立应用1.利用导数判断函数图象【例1】如果函数的图象如图1所示，那么导函数的图象可能是()第23课利用导数来研究函数的单调性的课后作业【答案】A【变式】（2013广州二模）已知函数的图象如图2所示，则其导函数的图象可能是（）【答案】A【解析】 时，单调递减，，排除B、D； 时，先增后减，再增，则为正、负、正，排除C．应用2.判断函数的单调性【例2】已知函数，，求证在区间内单调递减，在区间内单调递增．图1xyO图2yxOA．xOB．xOC．xOD．yyy【证明】(1)当时，由于，，而不恒成立所以函数在区间内单调递减．(2)当时，由于所以当时，；当时，.从而函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．综合(1)(2)，可知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．【变式】已知（1）当时，判断在上的的单调性；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围。【解析】（1）当时，，当时，，所以在上是增函数（2）在上恒成立，∴在恒成立，而，∴，故实数的取值范围为.应用3.求函数的单调区间【例3】已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的单调区间【解析】函数的定义域为，．（1）当时，，由于，所以令，得；令，得即当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（2）当时，，由于，所以令，得；令，得即当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为。【变式】已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为． ，∴．∴当时，，．由于，所以令，解得；令，解得．∴的单调递增区间是；单调递减区间是．（2） ，∴， 函数在上是减函数，∴在上恒成立，∴在上恒成立，设，在上为减函数，∴，∴∴的取值范围是．第23课利用导数来研究函数的单调性的课后习题1.（2013广州调研）已知为自然对数的底数，函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令，解得．2．已知在上是单调增函数，则的最大值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】在上恒成立，∴在恒成立，而，∴，故.3.(2012·高考辽宁卷)函数的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】选.y′＝x－＝＝(x＞0)．令y′≤0，得0＜x≤1，∴函数的单调递减区间为(0，1]．4．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如右图所示，则该函数的图象是()【答案】B【解析】由的图象知，的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.5.设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，∴在上是减函数，得，∴．6.A.下图是函数的导数的图象，请完成下列填空(1)函数的单调增区间：；（2）函数的单调减区区间：；B.该图是函数的图象，请完成下列填空（1）不等式的解集为:;（2）不等式的解集为:;（3）不等式的解为:;7.已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，，，所以是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数（2）由已知，得要使在区间上是增函数，只需，即，对于恒成立设，则，在上是增函数，所以，即实数的取值范围为8.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为． ，∴．∴当时，，．由于，所以令，解得；令，解得．∴的单调递增区间是；...
