函数的奇偶性与周期性021．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x)2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像()A．关于点(1,0)对称B．关于点(0,1)对称C．关于点(－1,0)对称D．关于点(0，－1)对称3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是()图K6－14．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(|x|)为偶函数；②f(x)＋f(－x)为非奇非偶函数；③f(x)－f(－x)为奇函数；④[f(x)]2为偶函数．其中正确判断的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝()A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2009)＋f(2011)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算8．已知函数f(x＋1)是偶函数，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，设a＝f－，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．b
0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．112．(13分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①任意x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．答案解析【基础热身】1．D[解析]因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.2．B[解析]令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图像关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(0)－1＝0，此时f(0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B[解析]由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.4．－1[解析]设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数．又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.【能力提升】5．B[解析]对于①，用－x代替x，得f(|－x|)＝f(|x|)，所以①正确；对于②，用－x代替x，得f(－x)＋f(x)＝f(x)＋f(－x)，所以②错误；对于③，用－x代替x，得f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]，所以③正确；易知④错误．26．B[解析] f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．7．C[解析]由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)，又 f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0.8．A[解析] f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，∴a＝f＝f＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∴x2－x1>0时，f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(3)>f>f(2)，∴c>a>b.即b
