高中数学抽象函数问题的几种求解意识 专题辅导VIP免费

高中数学抽象函数问题的几种求解意识胡翠霞抽象函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式，只给出函数记号及其满足的相关条件（如函数的定义域、经过某些特殊点、部分图象特征、某些运算性质等）的函数问题。它是高中数学函数部分的难点，也是与大学高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难点。但很多学生对这类问题颇感困惑，不知从何下手，本文总结了几条求解此类问题的思维意识，以期使学生的思维具有较好的方向性和目的性，从而提高解题能力。一、特殊化意识认真观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的思维意识。1、赋特殊值例1.设函数，对任意实数、满足。（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式。证明：（1）令，得，故；令，得，故。（2）令，得；令，得，所以，即为偶函数。（3），即，或，由（2）和在上为增函数，可得，解得且。2、赋特殊函数例2.对于任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图像恒（）（A）关于x轴对称（B）关于直线对称（C）关于直线对称（D）关于y轴对称解：取函数，则，这两个函数是同一个函数，它们的对称轴为，故选（B）。二、递推意识根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。例3.已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，若________。解：由，和，从而由题设有，。故用心爱心专心115号编辑。即，所以是以1为周期的周期函数。又，所以。三、换元意识根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换），得到一个或几个方程，然后设法从中求其解。例4.若函数的定义域为，求函数的定义域。解：设，因为的定义域为，所以，则的定义域是。又令得即的定义域是。四、化归意识有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。例5.已知定义在R上的函数满足：（1）对于任意都有；（2）当时，，且。求在上的最大值和最小值。解：任取，由条件（1）得，所以，因为，由条件（2）得，所以，所以在上单调递减。在（1）中令，得，所以，再令，得，所以，从而为奇函数，因此，上的最大值为，最小值为。五、类比意识即通过联想符合题设条件的特殊函数，将其相关性质或特征类比推广到抽象函数，并予以证明与应用。例6.设函数的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且。（1）求的值；（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；（3）设，，a、b、c，a、b不同时为零，若，确定实数a、b、c三者之间的关系。分析：根据所给条件，易联想到符合题设的指数函数，从而问题（1）、（2）的求解方向就十分明确了，当然这只是猜测，还需要严格证明。解：（1）因为对于任意实数m、n总有，所以令，得，又时，，故，从而有。（2）首先注意到，当时，，从而用心爱心专心115号编辑，设，则，即，故是R上单调递减函数。（3）由，知，从而，它表示单位圆的内部；由，知；而，故直线和圆的内部没有公共点，即直线和圆相切或相离，从而有。用心爱心专心115号编辑