课后提升作业十八向量数乘运算及其几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列各式计算正确的有()①(-7)6a=-42a;②7(a+b)-8b=7a+15b;③a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4b.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由向量的数乘运算知①③④均正确.而7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b,显然②错误.2.已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ=()A.B.C.±D.±【解析】选C.因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,λ=±.【补偿训练】已知非零向量a,b满足a=λb,b=λa(λ∈R),则λ=()A.-1B.±1C.0D.0【解析】选B.由a=λb,b=λa,得(λ2-1)a=0,所以λ2=1,解得λ=±1.3.(2016·潍坊高一检测)设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是()A.=B.=2C.=-D.=-2【解析】选B.因为=++=-8a-2b,=-4a-b,所以=2.4.(2016·北京高一检测)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.又因为k<0,故λ=-.5.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题知=+=+=+(-)=-+.6.设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积之比是()A.B.C.D.【解析】选B.因为=2,所以P为边AC靠近A点的三等分点,所以△PAB与△PBC的面积比为1∶2.7.(2016·长沙高一检测)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.=++=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A,B,D三点共线.【拓展延伸】判断三点共线的方法(1)对于三点A,B,C,若存在λ∈R,使=λ,则A,B,C共线.(2)对于平面内任一点O,若存在α,β∈R,使=α+β,α+β=1,则A,B,C三点共线.8.在△ABC中,点D在直线CB的延长线上,且=4=r+s,则r-s=()A.B.C.2D.3【解析】选A.因为=+=4,所以=3,所以=-=+-=+-=+(-)-=-,所以r=,s=-,r-s=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.【解析】在平行四边形ABCD中,+=,而=2,所以λ=2.答案:2【补偿训练】在平行四边形ABCD中,点E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.【解析】因为=+,又=+,=+,所以=λ+μ=+,得到λ+μ=1,λ+μ=1,两式相加得λ+μ=.答案:10.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ的值为.【解题指南】由条件知向量与共线,由共线定理列出λ的方程组然后解方程组即可.【解析】因为=e1+λe2,=+=5e1-3e2且A,B,D三点共线.所以=k,即e1+λe2=k(5e1-3e2),所以所以答案:-三、解答题11.(10分)(2016·郑州高一检测)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2.又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)可知=e1-4e2,因为=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,得解得k=12.【能力挑战题】已知点O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M三点共线.(2)若点B在线段AM上,求实数λ的范围.【解题指南】(1)先证向量共线,再证点共线.解决向量共线,关键在于找到实数λ,使b=λa.(2)结合(1)A,B,M三点共线,则=λ,结合点B在线段AM上,确定λ的范围.【解析】(1)因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,即=λ,又λ∈R,λ≠1,λ≠0且,有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则,同向且||>||(如图所示).所以λ>1.
