专题限时集训(二十)坐标系与参数方程不等式选讲[建议用时：45分钟][A组高考题体验练]1．(2017·全国卷Ⅰ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.[解](1)曲线C的普通方程为＋y2＝1．1分当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．2分由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，．4分(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.5分当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8;7分当a＜－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.9分综上，a＝8或a＝－16．10分(2017·全国卷Ⅰ)选修45：不等式选讲已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①1分当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；2分当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；3分当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤．4分所以f(x)≥g(x)的解集为.5分(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，6分所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.7分又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．10分2．(2017·全国卷Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．1分由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0).3分因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).5分(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，6分于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.9分当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋．10分(2017·全国卷Ⅱ)选修4－5：不等式选讲已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4，(2)a＋b≤2.[证明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b62分＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.5分(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)7分≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2．10分3．(2017·全国卷Ⅲ)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[解](1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；1分消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．2分设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．4分所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).5分(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．6分联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．8分故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为．10分(2017·全国卷Ⅲ)选修45：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．[解](1)f(x)＝1分当x＜－1时，f(x)≥1无解；2分当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；3分当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2．4分所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.5分(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x．6分而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，9分且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为．10分[B组模拟题提速练]1...
