椭圆焦半径公式的证明及巧用命题：若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。证明：如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得说明：若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。一、用于求离心率例1如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。分析：如图，连，则，由焦半径公式得，即。所以，所以。二、用于求椭圆离心率的取值范围例2已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。用心爱心专心分析：设的坐标为，则由得故，即，又。所以。三、用于求焦半径的取值范围例3若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。分析：不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。所以。四、用于求两焦半径之积的最值例4若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。分析：易知由知，所以的最小值为，最大值为。五、用于求三角形的面积例5若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。分析：易知。由余弦定理得。解得。所以用心爱心专心六、用于求点的坐标例6若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。分析：由，及得，解得，所以。七、用于证明定值问题例7已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。分析：不妨设，由成等差数列得，即。化简得，所以为定值。八、用于求角的大小例8如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。分析：设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。所以用心爱心专心所以。九、用于求线段的比。例9过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。分析：如图4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。由两式相减并化简得。所以。所以AB的垂直平行线方程为。令，则，故N的坐标为所以，所以。用心爱心专心用心爱心专心
