学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的斜率是________．【解析】直线x＋3y－3＝0化为斜截式得y＝－x＋1，故直线的斜率为－.【答案】－2．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a＝________，b＝________.【导学号：60420062】【解析】由ax＋by－1＝0在y轴上截距为－1，∴＝－1，b＝－1.又x－y－＝0的倾斜角为60°.∴直线ax＋by－1＝0的斜率－＝tan120°，∴a＝－.【答案】－－13．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l经过原点和第二、四象限，则A，B，C应满足________．【解析】l过原点，则C＝0，又过二、四象限，则－<0，即>0即AB>0.【答案】AB>0且C＝04．若方程(a2－a－2)x＋(a2＋a－6)y＋a＋1＝0表示垂直于y轴的直线，则a为________．【解析】因为方程表示垂直于y轴的直线，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0，解得a＝－1.【答案】－15．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．【解析】该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则x，y的系数不同时为0.解2m2＋m－3＝0，得m＝－或m＝1；解m2－m＝0，得m＝1或m＝0.综上可知实数需满足m≠1.【答案】m≠16．直线mx＋my＋x－y－3m－1＝0恒过定点，则此定点是________．【解析】mx＋my＋x－y－3m－1＝0，(x＋y－3)m＋(x－y－1)＝0，则得【答案】(2,1)7．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k的取值范围是________．【解析】令x＝0，则y＝k；令y＝0，则x＝－2k，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是S＝|－2k|·|k|≤1，即k2≤1，所以－1≤k≤1.【答案】[－1,1]8．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．【解析】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或－<0即可，解得－1
0.综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．【答案】∪(0，＋∞)二、解答题9．求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．【解】(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．(1)在x轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P(－1，－1)．【解】(1)∵直线过点P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1.又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.(2)由斜率为1，得解得m＝.(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2.[能力提升]1．对于直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)，下列说法正确的是________(填序号)．(1)无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；(2)无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；(3)无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；(4)当a取不同数值时，可得到一组平行直线．【解析】对于(3)，当a>0时，直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)的斜率小于0，则直线l必经过第四象限，故(3)是错误的．【答案】(1)(2)(4)2．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过点P(2,3)，则经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线的方程为________．【解析】依题意得2a1＋3b1＋1＝0，这说明Q1(a1，b1)在直线2x＋3y＋1＝0上．同理，Q2(a2，b2)也在直线2x＋3y＋1＝0上．因为两点确定一条直线，所以经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.【答案】2x＋3y＋1＝03．斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为________.【导学号：60420063】【解析】设直线方程为y＝x＋b，令y＝0，得x＝－b，∴＝6，∴b＝±3，所以所求直线方程为3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝0.【答案】3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝04．已知直线l的方程为y＝ax＋2a＋1.(1)求直线l恒过的一个定点；(2)如果当x∈(－1,1)时，y>0恒成立，求a的取值范围．【解】(1)原方程可化为y－1＝a(x＋2)，所以直线l恒过定点(－2,1)．(2)令y＝f(x)＝ax＋2a＋1，∵f(x)>0对x∈(－1,1)恒成立，且方程y＝ax＋2a＋1表示直线，∴即解得a≥－.故满足题意的a的取值范围为a≥－.
