第1课时等比数列的定义与通项公式1.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为A.16B.27C.36D.81解析由a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，所以q2＝9，又an＞0，所以q＝3.a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.答案B2.在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝A.－4B.±4C.－2D.±2解析因为数列{an}为等比数列，所以a＝a1·a7，所以a7＝＝＝－4.答案A3.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列解析从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列.由于3，6，9成等差数列，所以a3，a6，a9成等比数列.事实上，设等比数列的公比为q，则＝＝q3.答案D4.在等比数列{an}中，若a3＝3，a7＝12，则a5＝________.解析a＝a3a7＝36，又a5＝a3q2＞0，∴a5＝6.答案65.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.解析由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.答案3×2n－3[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)11.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝9，则a3＝A.1B.3C.±1D.±3解析因a3是a1和a5的等比中项，故a＝a1·a5＝1，又a3＝a1q2＝q2>0，所以a3＝1.答案A2.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于A.64B.81C.128D.243解析由题意解之，得∴a7＝1·26＝64.答案A3.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a3和a7的等比中项是A.8B.±8C.D.±解析a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝32，故a3和a7的等比中项是±＝±8.答案B4.下列命题中正确的是A.若a，b，c是等差数列，则lga，lgb，lgc是等比数列B.若a，b，c是等比数列，则lga，lgb，lgc是等差数列C.若a，b，c是等差数列，则10a，10b，10c是等比数列D.若a，b，c是等比数列，则10a，10b，10c是等差数列解析若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以10a·10c＝10a＋c＝102b＝(10b)2，所以10a，10b，10c是等比数列.故选C.答案C5.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于A.607.5B.608C.607D.159解析∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.答案C6.(能力提升)如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，那么a5等于A.32B.64C.－32D.－64解析由已知得＝(－)n－1，则＝－，＝(－)2，＝(－)3，2＝(－)4，以上四式相乘得a5＝(－)1＋2＋3＋4，解得a5＝32.故选A.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n，3an＋1－an＝0，则an＝________.解析因为3an＋1－an＝0，所以＝，因此{an}是以为公比的等比数列，又a1＝2，所以an＝2×.答案2×8.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.解析因为an＝a1qn－1＝(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.答案159.(能力提升)设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为________.解析设{an}的公比为q，则＝＝＝＝.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3的值.解析由a5－a1＝15，a4－a2＝6.设等比数列{an}的公比为q，则①÷②得＝，∴＝.∴＝，即2q2－5q＋2＝0.∴q＝2或q＝.当q＝2时，a1＝1，∴a3＝1×22＝4；当q＝时，a1＝－16，∴a3＝(－16)×＝－4.11.(12分)(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－32an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式.解析(1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.12.(12分)(能力提升)(1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.解析(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N*均成立.将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)][2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，解得p＝2或p＝3.(2)设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q.因为c＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)，所以c－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p－q)2.由于p≠q，所以p－q≠0，又a1≠0，b1≠0，因此c≠c1c3.故{cn}不是等比数列.45
