课时跟踪训练(四)数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝()A．1B．3C．5D．72．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－24．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为()A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，减少5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明＋＋…＋＝，推证当n＝k＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{an}满足an>0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)．1答案1．选Cn的取值与2n，n2的取值如下表：n123456……2n248163264……n2149162536……由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4，即n≥5时，恒有2n>n2.2．选B因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．3．选C凸n边形有f(n)条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n－2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)比f(n)多n－1条．4．选C当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.5．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推6．解析：当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋，故只需证明＋＝即可．答案：＋＝7．解：由an>0，得Sn>0，由a1＝S1＝，整理得a＝1，取正根得a1＝1，所以S1＝1.由S2＝及a2＝S2－S1＝S2－1，得S2＝，整理得S＝2，取正根得S2＝.同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即Sk＝.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝.整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，Sn＝都成立．28．解：(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，且≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(n∈N＋)时，命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．3
