【高考新坐标】2016届高考数学总复习第二章第14节定积分与微积分基本定理课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4[解析]令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，∴S＝(4x－x3)＝＝8－4＝4.[答案]D2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.gB．gC.gD．2g[解析]由题意知，电视塔高h＝gtdt＝gt2＝g.[答案]C3．如图2145，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是()图2145A.B．2C．－D.[解析]S＝(3－x2－2x)dx＝＝－[3×(－3)－×(－3)3－(－3)2]＝.[答案]D4．(2015·泰安调研)已知t>0，若(2x－1)dx＝6，则t的值等于()A．2B．3C．6D．8[解析]依题意，(2x－1)dx＝2xdx－1dx＝x2－x＝t2－t，由t2－t＝6得t＝3或t＝－2(舍去)．[答案]B5．(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3[解析]①f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝x3dx＝＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，满足条件的共有两组．[答案]C二、填空题6．(2015·威海模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．[解析]求曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，∴dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝.[答案]7．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．[解析]变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．[答案]3428．(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图2146所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图2146[解析]正方形内空白部分面积为[x2－(－x2)]dx＝2x2dx＝·x3＝－＝，阴影部分面积为2×2－＝，所以所求概率为＝.[答案]三、解答题9．把函数f(x)＝sinx(x∈[0，2π))的图象向左平移后，得到g(x)的图象，求f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积．[解]把函数f(x)＝sinx(x∈[0，2π))的图象向左平移后，得到g(x)＝sin，得交点为，，则f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积为∫dx＝＝2.10．汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？[解]由题意，得v0＝54km/h＝15m/s.所以v(t)＝v0＋at＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.所以开始刹车5s后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝v(t)dt＝(15－3t)dt＝＝37.5(m)．故汽车走了37.5m.[B级能力提升练]1．(2015·潍坊模拟)若函数f(x)＝则f(2016)＝()A．1B．2C.D.[解析]当x≤0时，f(x)＝2x＋sin3t＝2x＋.又f(x)＝f(x－4)知f(x)的周期为4.故f(2016)＝f(4×504)＝f(0)＝20＋＝.[答案]C2．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f(x)＝min{x2，}，那么由函数y＝f(x)的图象、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为________．[解析]结合f(x)的图象，所求阴影部分的面积S＝∫1x2dx＋dx＝.[答案]3．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．[解]由得交点A(1，1)；由得交点B(3，－1)．故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.
