高中数学构造函数求解恒成立问题求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题。求解时经常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量。一、构造一次函数型例1.若不等式，对满足的所有m都成立，求x的取值范围。解：视m为主元，构造一次型函数原题即对满足的m，恒成立。由函数图象是一条线段，知应即解得说明：解本题的关键是将看来是解x的不等式问题转化为以m为变量，x为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。二、构造二次函数型例2.对于二次函数，如果时，恒成立，求实数a的取值范围。解：因为所以①当时，恒成立。②当时，在上恒成立。令化为关于t的函数在上为递减函数，当时，又化为关于t的函数在上为递增函数，当时，要使不等式恒成立，应有得综上①，②可得：如果时，恒成立，则。说明：本例求字母a的范围，对字母a与变量x左右分离，但要注意x＝0要另行讨论。不等式左右两边看作以“”为整体时的二次函数，利用二次函数单调性求出a的范围。例3.已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。解：依题意得，即当时恒成立当时，用心爱心专心当时，应即解得故即所求范围。说明：本题是一般的二次函数恒成立问题，要注意二次项系数是否为0进行讨论。三、构造函数例4.若对一切实数x，不等式均成立，求实数m的取值范围。解：由题意，知，因此原不等式恒成立等价于恒成立令函数在上为增函数所以时，要使不等式恒成立只要，所以又，所以所求范围是说明：本题首先由观察得到m为正数，变量分离后，再用函数的单调性求m的范围。四、构造单调数列例5.设a0为常数，且，假设对任意的，有，求的取值范围。解：由的通项公式则等价于（*）①当时，（*）式即为考查数列在N*上为递增数列，上式对k＝1，2，……都成立。而的最小值为所以，得②当时，（*）式即为，而的最小值为1，故应使，得。用心爱心专心综上①②可知：（*）式对任何成立，得取值范围是。说明：本题是数列有关的恒成立问题，确定数列，实质是利用了的单调性，从而为确定的范围作铺垫。五、构造三角函数例6设a，b，A，B均为已知实数，且对任何实数x不等式恒成立，求证：，。证明：构造函数则可变形为依题设有即同理把这两个不等式相加，即得，同理，由，可得。说明：本题虽涉及的字母较多，但思路应当明确，即确定函数后，顺势而下，找到恒成立的不等式。用心爱心专心
