4.3平面向量的数量积与平面向量应用举例[课时跟踪检测][基础达标]1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2解析： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.答案：A2．(2017届河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于()A.B．2C．3D．4解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.答案：D3．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为()A.B．C.D．π解析：由题意得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝，故选B.答案：B4．(2017届辽宁抚顺一中月考)在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝()A．2B．3C．－3D．6解析： BM＝2MA，∴BM＝BA＝(CA－CB)，∴CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝·CB＝CB2＋CB·CA＝3.故选B.答案：B5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)，若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为()A．10－5B．10＋5C．10－2D．10＋2解析： m⊥n，∴m·n＝0，即2cos2C－cosC－2cosC－2＝0.整理得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－或cosC＝2(舍去)．又 c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)＝102－2ab≥100－2＝100－25＝75，∴c≥5，则△ABC的周长为a＋b＋c≥10＋5.故选B.答案：B6．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为()A.B．C.D．解析：由a＋b＝(，1)得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4，又|a|＝1，|b|＝，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4，解得2a·b＝0，所以|a－b|＝＝＝2，设a＋b与a－b的夹角为θ，则由夹角公式可得cosθ＝＝＝－，且θ∈[0，π]，所以θ＝π，即a＋b与a－b的夹角为π.答案：C7．(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·BC的值等于()A．－8B．－1C．1D．8解析：取BC的中点D，连接OD，AD，则OD·BC＝0且AO＋OD＝AD，即AO＝AD－OD.而AD＝(AB＋AC)，所以AO·BC＝AD·BC－OD·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(52－32)＝8，故选D.答案：D8．已知正三角形OAB中，点O原点，点B的坐标是(－3，4)，点A在第一象限，向量m＝(－1,0)，记向量m与向量OA的夹角为α，则sinα的值为()A．－B．C.D．解析：由题可得OA，OB夹角为60°，设OB与m的夹角为θ(θ为锐角)，则cosθ＝＝＝，则sinθ＝，∴sinα＝sin(60°＋θ)＝sin60°cosθ＋cos60°sinθ＝×＋×＝.答案：B9．已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足(AB－AC)·(2AD－BD－CD)＝0，则△ABC的形状为________．解析：由已知得CB·(AD＋DB＋AD＋DC)＝0即CB·(AB＋AC)＝0设D为BC中点，则CB·2AD＝0，∴CB⊥AD，∴△ABC为等腰三角形．答案：等腰三角形10．(2018届衡水调研)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．解析： (2a＋b)·b＝0，∴2|a||b|cosθ＋b2＝0.由|a|＝|b|，可得cosθ＝－.故a与b的夹角为120°.答案：120°11．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故DE·DC的最大值为1.答案：1112．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|；(3)若AB＝a，AC＝b，作△ABC，求△ABC的面积．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. |a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2) |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.同理，|a－b|＝＝.(3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，|AB|＝|a|＝4，|AC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|A...
