2009年康杰中学高一数学竞赛选拔试题2009.10一、选择题（每小题5分）1．是集合到的映射，且则不同的映射有（）个A．13B．19C．21D．232．已知函数满足：对任意都有的值为（）A．1002.5B．1003C．1003.5D．10043．函数上有最小值，则函数间上一定（）A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数4．满足方程的实数解的个数是（）A．1B．2C．4D．无数多5．将2008表示为个互异的平方数之和，则K的最小值是（）A．2B．3C．4D．56．给出函数则等于（）A．B．C．D．7．已知则n的十进位制表示中，数码1有（）个99个A．50B．99C．90D．1008．已知的最小值等于（）A．2500B．4950C．5050D．51509．如图：已知在中，，一个边长为12的正方形CDEF内接于，则的周长为（）A．35B．40C．81D．8410．已知是方程的两个根，则=（）A．B．C．D．11．的图象大致是图（）ABCD12．满足的正整数对（）A．只有一对B．恰有两对C．至少有三对D．不存在二、填空题，每小题4分13．=___________.14．右以O为圆心的两个同心圆中，的大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦交小圆于点A、B，若，则的面积为__________.15．已知时，_______16．六位数8193是99的倍数，则整数、为___________.三、解答题17.（10分）设S为满足下列两个条件所构成的集合（i）（ii）证明：（1）当（2）若，则在S中必含有两个其他的数并写出这两个数。18.（12分）如图4，自的外接圆上的任一点，作于D，P是上的一点，作E、F、G分别在AC、AB、AD上，证明：E、F、G三点共线19.（10分）求的值域。20.（14分）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是10-7+4-2+1=6，集合的“交替和”是10-7=3，集合的“交替和”是5试求：A的所有子集的“交替和”的总和21.（12分）定义在上的奇函数满足，且当、，时，有（Ⅰ）证明：是上的增函数（Ⅱ）证明：当时（Ⅲ）若对所有的的取值范围。22.（14分）过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元，共有50元，20元，10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，其中一个人拿钱的张数恰好等于另两人拿钱的张数之积，问各有多少种选择面额及张数的方式？
