第2节平面向量基本定理及坐标表示[A级基础巩固]1．向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为()A．(－3，4)B．(3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)解析：由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)．答案：A2．(2020·山西榆社中学诊断)若向量AB＝DC＝(2，0)，AD＝(1，1)，则AC＋BC等于()A．(3，1)B．(4，2)C．(5，3)D．(4，3)解析：AC＝AD＋DC＝(3，1)，又BD＝AD－AB＝(－1，1)，则BC＝BD＋DC＝(1，1)，所以AC＋BC＝(4，2)．答案：B3．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5B．6C．7D．8解析：由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5，5)，λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，所以λ＋m＝6.答案：B4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．答案：A5．(2020·漳州二模)已知点C(1，－1)、D(2，x)，若向量a＝(x，2)与CD的方向相反，则|a|＝()A．1B．2C．2D.解析：由C(1，－1)、D(2，x)，得CD＝(1，x＋1)．因为向量a＝(x，2)与CD的方向相反，所以＝，解得x＝1(舍去)或x＝－2.则|a|＝＝2.答案：C16．(2020·蚌埠期中)已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为()A.B.C.D.解析：因为m∥n，所以sinA(sinA＋cosA)－＝0，所以2sin2A＋2sinAcosA＝3，所以1－cos2A＋sin2A＝3，所以sin＝1，因为A∈(0，π)，所以2A－∈，因此2A－＝，解得A＝.答案：C7．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC＝2AE，则向量EM＝()A.AC＋ABB.AC＋ABC.AC＋ABD.AC＋AB解析：如图所示，因为EC＝2AE，所以EM＝EC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.答案：C8．(2020·南昌调研)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是()A．2B.C.D.解析：因为a∥b，所以(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.因为x＞0，y＞0，所以5＝2x＋3y≥2，所以xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号．答案：C9．(2020·合肥质检)已知a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．解析：因为a＝(1，3)，b＝(－2，k)，所以a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)．因为(a＋2b)∥(3a－b)，所以－3(9－k)＝5(3＋2k)，所以k＝－6.答案：－610．(2019·广东联考)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．解析：因为点C是线段AB上一点，且|BC|＝2|AC|，所以BC＝－2AC.2设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．所以解得所以向量OB的坐标是(4，7)．答案：(4，7)11．(2020·辽宁丹东五校联考)向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos2α＝________．解析：因为a∥b，a＝，b＝(cosα，1)，所以tanα·cosα＝sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.答案：12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．解析：选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，所以解得所以λ＋μ＝.答案：[B级能力提升]13．(2020·福州质检)设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为()A.B.C.D.解析：因为OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，所以AB＝OB－OA＝(a－1，1)，AC＝OC－OA＝(－b－1，2)，因为A，B，C三点共线，所以AB＝λAC，即(a－1，1)＝λ(－b－1，2)，所以可得2a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2，所以ab≤.当且仅当2a＝b＝时取等号．因此ab的最大值为.答案：C14．(2019·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s等于()A.B.C．－3D．0解析：因为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝AB－AC，则r＋s＝＋＝0，故...
