2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.7正弦定理和余弦定理真题演练集训理新人教A版1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1答案：B解析：由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．答案：解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时等号成立)，∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.答案：解析：解法一：因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，从而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得b＝＝.解法二：因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，从而cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC＝－×＋×＝.由正弦定理＝，得c＝＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝.解法三：因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，由正弦定理＝，得c＝＝.从而b＝acosC＋ccosA＝.解法四：如图，作BD⊥AC于点D，由cosC＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝.又cosA＝，所以tanA＝，从而AD＝.故b＝AD＋DC＝.4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC，C∈(0，π)．可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知，absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.课外拓展阅读转化与化归思想在解三角形中的应用[典例][2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[审题视角](1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．[解](1)由已知及正弦定理得，①2cosCsin(A＋B)＝sinC．故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知，得absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.故②所以△ABC的周长为5＋.满分心得1．(1)题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．(2)题中②处不能结合余弦定理将(a＋b)视为整体进行求解而走入误区．2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．
