1.3正弦定理、余弦定理的应用A级基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边bB．角A，B和边aC．边a，b和角CD．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.答案：D3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.nmileB．34nmileC.nmileD．34nmile解析：如图所示，在△PMN中，＝，所以MN＝＝34.所以v＝＝(nmile/h)．答案：A4．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为()A.B．2C．2或D．3解析：依题意可得，32＋x2－2×3·xcos30°＝()2.解得x＝2或x＝.答案：C5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()1A．10mB．100mC．20mD．30m解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.答案：D6．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A．5B．10C．10D．10解析：如图所示，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m，由正弦定理，得BB′＝＝＝10(m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时，坡底延伸10m.答案：C二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在正北，若路途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD＝40m，∠ACD＝90°－60°＝30°，作AE⊥CD于点E，则∠AEB＝30°，则AD＝CDsin30°＝20，AE＝ADsin60°＝10，所以AB＝AEtan30°＝10×＝10m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为________．解析：如图所示，AB＝AC·2tan60°＝5，BC＝＝10，所以AB＋BC＝(5＋10)m.答案：(10＋5)m三、解答题9.如图所示，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解：如题图所示，由正弦定理得，＝，所以BC＝30km.所以此时船与灯塔的距离为30km.10．如下图所示，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84m，求塔高．解：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm.在△ABD中，利用余弦定理得842＝＋－2·x2cos(90°＋60°)，解得x＝±12(负值舍去)，故塔高为12m.B级能力提升一、选择题11．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°3解析：如题图所示，结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因为AC＝BC，所以∠ABC＝50°，α＝60°－50°＝10°.答案：B12．若水平面上，点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案：C13．当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A.B.C.D.解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，...
