计时双基练五十八直线与圆锥曲线的位置关系A组基础必做1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)。答案C2．(2015·石家庄二检)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是()A．15°B．25°C．60°D．165°解析 两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°，故选C。答案C3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0。则x1＋x2＝－t，x1x2＝。所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝，当t＝0时，|AB|max＝。答案C4．(2015·四川雅安月考)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8解析 y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得A(3,2)，∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4。答案C5．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点。若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A．3个B．4个C．6个D．8个解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且∠F1PF2为直角，此时这样的点P有2个。故符合要求的点P有6个。答案C6．(2016·上饶模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A．5B．4C．3D．2解析记抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l′，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BC⊥AA1，垂足分别是A1，B1，C1，则有cos60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C。答案C7．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________。解析设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)。则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－。又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0。答案x＋2y－8＝08．(2015·贵州安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M、N的坐标分别为________________。解析设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2中，整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0，∴b>－。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，＝－＋b＝＋b，由在直线y＝x＋3上，即＋b＝－＋3，解b＝2，联立解得答案(－2,4)、(1,1)9．(2016·沈阳模拟)已知点A(－，0)，点B(，0)，且动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为k∈________。解析由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a＝2，c＝，则b＝＝1，∴P点的轨迹方程为x2－y2＝1(x>0)，其一条渐近线方程为y＝x。若P点的轨迹与直线y＝k(x－2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)。答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)。(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程。解(1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，∴椭圆的方程为＋＝1。(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝，由d<1得|m|<。(*)∴|CD|＝2＝2＝。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3。∴|AB|＝＝。，由＝得＝1，解得m＝±，满足(*)。∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－。11．(2015·广东肇庆二模)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2。(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动...
