谈如何求二项展开式的系数最大项李海淼我们先看一道例题：例1.（1）求展开式中系数最大项；（2）求展开式中系数最大项。解：（1）设第项系数最大，则有（*）即，得到，解得，所以，所以系数最大项为第六项。这道题目是在很多参考书上出现的一道比较典型的求系数最大项的例题。但是这里有几个问题：①如果系数最大项是最后一项，则无意义，如果系数最大项是第一项，则无意义，显然用并不合适，②系数最大项是不是有且仅有一项？③所列条件只是求出了系数比前后两项系数都大的项，有没有可能有另外更大的最大值呢？现在我们研究对于的二项展开式，设第项系数最大则（*）可以解得。若系数最大项为最后一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是最后一项。若系数最大项为第一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是第一项。因为中不符合系数最大项是第一项或最后一项的特点，所以用解答没有问题，这样我们解决了问题①；又因为，我们同时可以得出一个结论：形如（）二项展开式系数最大项最多只有两项，这样也解决了问题②；对于问题③，这里我们碰到一个问题，以前特别用心爱心专心是在碰到函数问题时，其实我们求最大值并不是这样求的，所以这里必须说明，如果最大值是另外一个值，那么显然应该满足（*）式，也可以从（*）式解出来，但（*）式没有解出别的值，所以（*）式解出的就是最大值。这样我们解决了问题③。（2）对于二项展开式，我们知道奇数项的系数为正，但经过观察我们只要比较第五项系数和第七项系数大小，结论从略。但是不是只能用这种观察的方法呢，有没有一般的方法呢？如果对于一般情况（），从（*）可以解得，我样可以判断对于（）它的二项展开式项的系数的增减性一定是先增后减，所以如果和是连续两个整数，那么其中那个偶数就是我们要求的r，若和不是整数，如果介于它们之间的整数是偶数，那就是我们要求的r，如果是奇数，那么只要将项左右两项系数进行比较就可以了。例2.（1）求展开式子系数最大项；（2）求展开式子系数最大项解：（1），，，，所以只需要比较和的大小即可。大的那个就是我们所要求的最大系数，结论从略。（2），，，，所以系数最大项即为第7项，以下从略。用心爱心专心
