考查角度3函数的零点、方程的根及其应用分类透析一函数零点所在区间的确定例1已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)解析由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.答案C方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图象判断.分类透析二函数零点个数的问题例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为().A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是().A.0B.2C.4D.6解析(1)令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-,1,3}.(2)画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图象,如图所示,故方程f(x)=log3|x|的解的个数为4.答案(1)D(2)C方法技巧判断函数y=f(x)零点个数的三种常用方法:(1)直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.(2)零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数).分类透析三由函数零点求参数的取值范围例3已知函数f(x)=则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是().A.[0,1)B.(-∞,1)C.(-∞,1]∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)解析函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x=的大致图象(图略).观察它与直线y=m的图象,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.答案D方法技巧根据函数零点的情况求参数有三种常用方法.(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:通过将参数分离,转化成求函数值域问题解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合求解.1.(2018年全国Ⅰ卷,理9改编)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.解析当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x.因为0<2x≤20=1,所以0
0,解得a<-1或a>.答案B3.(2016年山东卷,文15改编)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.解析画出函数f(x)=的图象,如图所示.已知函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0
