求曲线的方程A级基础巩固一、选择题1．已知A(－2，0)，B(2，0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是()A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线解析：设顶点C到边AB的距离为d，则×4×d＝10，所以d＝5.所以顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.答案：D2．若点M到两坐标轴的距离的积为2019，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2019B．xy＝－2019C．xy＝±2019D．xy＝±2019(x>0)解析：设M(x，y)，则由题意知：|x|·|y|＝2019，所以xy＝±2019.答案：C3．与点A(－1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋2xy＝1(x≠±1)C．y＝D．x2＋y2＝9(x≠0)解析：设动点P(x，y)，则＋＝－1，化简得x2＋2xy＝1.又因为直线的斜率存在，所以x≠±1.答案：B4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，1所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D5．如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是()A．曲线C上的点的坐标都满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点一定有些在曲线C上，有些不在曲线C上C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确就是说方程f(x，y)＝0的解所对应的点有的不在曲线上．答案：D二、填空题6．直线x－3y＝0和直线3x－y＝0的夹角的平分线所在直线方程为________．解析：设P(x，y)为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P到直线x－3y＝0和3x－y＝0的距离相等，所以＝，所以|x－3y|＝|3x－y|，所以x－3y＝±(3x－y)，所以x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，所以所求直线方程为x＋y＝0或x－y＝0.答案：x＋y＝0或x－y＝07．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________．答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±)8．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，2则动点P的轨迹方程是______________________________．解析：数形结合可知P到点(1，0)的距离为定值，P轨迹为圆，方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝2三、解答题9．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．解：设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离|PA|＝，由已知d＝2|PA|得：|x－8|＝2，化简得：3x2＋4y2＝48.故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.10．已知B(－3，0)，C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长度为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，因为AB⊥CH，所以kAB·kCH＝－1，即·＝－1(x≠±3)．化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．又x＝±3，y＝0时也适合此方程，所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.综上所述，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或y＝x2－3.B级能力提升1．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A．f(x－3，y)＝0B．f(y＋3，x)＝0C．f(y－3，x＋3)＝0D．f(y＋3，x－3)＝0解析：设P(x，y)为对称曲线上任意一点，它关于直线x－y－3＝03对称点的坐标为(x′，y′)，依据题意有⇒又(x′，y′)适合方程f(x，y)＝0，故所求对称曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.答案：D2．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是__________________．解析：(参数法)直线＋＝1与x，y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)3．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是________．解析：因为a>0，所以方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线如图．要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求直线y＝a|x|(a>0)的斜率a>1.答案：(1，＋∞)4
