第3讲平面向量配套作业一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案A解析由题意(如图)，根据向量的运算法则，可得EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－(AB＋AC)＝AB－AC，故选A.2．(2018·成都二诊)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②，解得x＝－，y＝－.3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝答案A解析由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，易知x＝，y＝.4．(2018·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B解析a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.5．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－3B．－C.D．3答案C解析 点C(－1,0)，D(4,5)，∴CD＝(5,5)．又AB＝(2,1)，∴向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.6．(2018·海口一模)在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案C解析由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，∴AC·2BA＝0，∴AC⊥BA.∴∠A＝90°，选C.7．(2018·开封质检)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则DM·DB等于()A．－B.C．－1D．1答案D解析因为DM＝DA＋AM＝DA＋AB，DB＝DA＋AB，所以DM·DB＝·(DA＋AB)＝|DA|2＋|AB|2＋DA·AB＝1＋－AD·AB＝－|AD|·|AB|·cos60°＝－×1×2×＝1.8．(2018·黑龙江省哈尔滨六中一模)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|为()A．2B．4C．8D．16答案B解析根据条件，|a＋b|cos〈(a＋b)，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5，所以a·b＝4，所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16，所以|a－2b|＝4.故选B.二、填空题9．已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λμ＝________.答案－3解析建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.10．(2018·济南二模)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|∈(2,2]，则a，b的夹角θ的取值范围是________．答案解析 |a－2b|∈(2,2]，∴(a－2b)2∈(4,12]，即a2＋4b2－4a·b＝4＋4－8cosθ∈(4,12]，∴cosθ∈，故θ∈.11．已知函数y＝tan的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝________.答案6解析结合题中图象，令y＝tan＝0，得x－＝kπ(k∈Z)．当k＝0时，解得x＝2.故A(2,0)．由y＝tan＝1⇒x－＝kπ＋⇒x＝4k＋3(k∈Z)，结合题中图象可得x＝3，故B(3,1)，所以OA＋OB＝(5,1)，AB＝(1,1)．故(OA＋OB)·AB＝5×1＋1×1＝6.三、解答题12．已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α∈，且cos＝，求f(α)．解(1)f(x)＝sinxcos＋1＝sinxcosx－sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)f(α)＝sin＋＝sincos＋，又 cos＝，且α∈，∴sin＝，∴f(α)＝＋.13．已知△ABC的面积为S，且BA·BC＝S.(1)求tan2B的值；(2)若cosA＝，且|CA－CB|＝2，求BC边中线AD的长．解(1)由已知BA·BC＝S有accosB＝acsinB，可得tanB＝2，所以tan2B＝＝－.(2)由|CA－CB|＝2可得|BA|＝2，由(1)知tanB＝2，解得sinB＝，cosB＝，又cosA＝，所以sinA＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.因为sinB＝sinC，所以B＝C，所以AB＝AC＝2，所以中线AD也为BC边上的高，所以AD＝ABsinB＝2×＝.14．已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的...
