3．1.5空间向量运算的坐标表示1．空间向量的加减和数乘的坐标表示．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝______________________；(2)a－b＝______________________；(3)λa＝__________________(λ∈R)；(4)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔____________，____________，____________．2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：(1)a·b＝____________________；(2)|a|＝＝________________；(3)cosa，b＝＝_________________________；(4)a⊥b⇔____________________．3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式．在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．(1)AB＝____________________；(2)dAB＝|AB|＝________________________．想一想：如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？基础梳理1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(3)(λa1，λa2，λa3)(4)a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb32．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)(3)(4)a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．(1)(a2－a1，b2－b1，c2－c1)(2)想一想：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．1．已知下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可写成(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是.其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若OC＝AB，则C的坐标是()A.B.C.D.3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()A．0B．6C．－6D．±6自测自评11．C2．解析：因为AB＝(－3，7，－5)，所以OC＝AB＝(－3，7，－5)＝.故选B.答案：B3．解析：∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.答案：B1．已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为()A．0°B．45°C．90°D．180°1．C2．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1，1，1)B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5)D．(－4，6，－2)2．解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.答案：D3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.C.D.3．解析：依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.答案：D4．若三点A(2，2)，B(a，0)，共线，则a＝__________．4．解析：利用AB∥AC列式求解．答案：45．设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.B.C.D.5．解析：AB中点M，又C(0，1，0)，所以CM＝，故M到C的距离为|CM|＝|CM|＝＝.答案：C6．(2014·郑州一中月考)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°2C．120°D．150°6．解析：a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.答案：C7．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－1，0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________．7．解析：设n＝(x，y，z)，由条件得∴x＝y＝z＝或－.答案：或8．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B，C(－1，0，)，则角A的大小为________．8．解析：AB＝，AC＝(－1，0，0)．则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.答案：30°9．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如右图所示的空间直角坐标系．(1)写出A、B1、E、D1的坐标；(2)求AB1与ED1所成的角的余弦值．9．解析：(1)A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)．(2)∵AB1＝(0，－2，2)，ED1＝(0，1，2)，∴|AB1|＝2，|ED1|＝，AB1·ED1＝0－2＋4＝2，∴cos〈AB1，ED1〉＝＝＝.∴AB1与ED1所成的角的余弦值为.10．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点．3(1)求BN的模；(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.10．(1)解析：如图，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，∴|BN|＝＝.4(2)解析：依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B1(0，1，2)，∴BA1＝(1，－1，2)，CB1＝(0，1，2)，BA1·CB1＝3，|BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.(3)证明：依题意，得C1(0，0，2)、M，A1B＝(－1，1，－2)，C1M＝.∴A1B·C1M＝－＋＋0＝0，∴A1B⊥C1M.∴A1B⊥C1M.5
