4：立体几何中的折叠问题1
在正方形中，的中点为点，的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系，进而利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）证明有关线面垂直和线线垂直，进而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接
同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于，所以面．设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于，为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而，，，，，，又因为，所以，，在直角中，由勾股定理可得，所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．2
如图甲，已知矩形中，为上一点，且，垂足为，现将矩形沿对角线折起，得到如图乙所示的三棱锥
（Ⅰ）在图乙中，若，求的长度；（Ⅱ）当二面角等于时，求二面角的余弦值
【答案】（1）（2）余弦值为
【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，由线面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的长度；（Ⅱ）以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面ADC的法向量为，由当二面角等于，求出点B,C，H三点的坐标，假设平面的法向量，由,求出，根据两向量的夹角公式，求出二面角的余弦值
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面的法向量为，即有，再由二面角等于，可得点坐标为，所以，设平面的法向量，则，所以，由横坐标大于横坐标，所以二面角为钝角，所以余弦值为
如图1，已知在菱形中，，为的中点，现将四边形沿折起至，如图2
（1）求证：面；（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值
