题组训练38专题研究2数列的求和1．数列{1＋2n－1}的前n项和为()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n答案C2．数列{(－1)n(2n－1)}的前2018项和S2018等于()A．－2016B．2018C．－2015D．2015答案B解析S2018＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2017－1)＋(2×2018－1)＝2＋2＋…＋2,1009个2相加＝2018.故选B.3．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a12＋a22＋a32＋…＋an2等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)答案B解析因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．则数列{an2}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为()A.B.C.D.答案B解析bn＝＝＝－，S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.5．在数列{an}中，an＝2n＋1，则＋＋…＋＝()A．1＋B．1－2nC．1－D．1＋2n答案C6．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于()A．13B．10C．9D．6答案D解析 an＝＝1－，∴Sn＝n－(＋＋…＋)＝n－1＋.而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6.7．已知等差数列{an}的公差为d，且an≠0，d≠0，则＋＋…＋可化简为()A.B.C.D.答案B解析 ＝(－)，∴原式＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝，选B.8．(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝，则数列{}的前n项和为()A．1－B．2－C．2－D．2－答案B解析设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，因为S3＝6，S5＝，所以解得所以an＝n＋1，＝，设数列{}的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两项相减得Tn＝＋(＋＋…＋)－＝＋(1－)－，所以Tn＝2－.9．Sn＝＋＋…＋＝________．答案解析通项an＝＝＝(－)，∴Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________．答案解析由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0.∴Tn＝11．(2017·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝________．答案3×21008－3解析依题意，得an＋1·an＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，则＝2，即＝2，所以数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2k，…是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，则S2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝＋＝3×21008－3.12．(2018·深圳调研二)数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列．(1)证明：S1，S3，S9成等比数列；(2)设a1＝1，bn＝a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.答案(1)略(2)2n＋2－n－4解析(1)证明：由题意有a22＝a1·a5，即(a1＋d)2＝a1·(a1＋4d)，解得d＝2a1.又 S1＝a1，S3＝3a1＋3d＝9a1，S9＝9a1＋36d＝81a1，∴S32＝S1·S9.又 S1，S3，S9均不为零，∴S1，S3，S9成等比数列．(2)由a1＝1得d＝2a1＝2，则an＝2n－1，则Tn＝a2＋a22＋a23＋…＋a2n＝(2×2－1)＋(2×22－1)＋(2×23－1)＋…＋(2×2n－1)＝2×(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n＋2－n－413．(2017·课标全国Ⅲ，文)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．答案(1)an＝(2)解析(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，从而{an}的通项公式为an＝.(2)记{}的前n项和为Sn.由(1)知＝＝－.则Sn＝－＋－＋…＋－＝.14．已知数列{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{Tn}的通项公式．答案(1)an＝2n－1(2)Tn＝2n＋1－n－2解析(1)T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝2＋a2＝4，∴a2＝2.∴等比数列{an}的公比q＝＝2.∴an＝2n－1.(2)方法一：Tn＝n＋(n－1)·2＋(n－2)·22＋…＋1·2n－1，①2Tn＝n·2＋(n－1)22＋(n－2)23＋…＋1·2n，②②－①，得Tn...
