高二数学综合法与分析法人教实验版（B）知识精讲【本讲教育信息】一.教学内容：综合法与分析法二.学习目标掌握综合法和分析法的基本思路，能用综合法和分析法证明有关问题；了解数学归纳法，会用此方法证明问题。三.考点分析1、综合法与分析法（1）综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。（2）分析法我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法。它的基本思路是“执果索因”，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法，当从题设不易入手的题目，而从结论上较易打开思路时，多用分析法证明。2、两种方法的利弊特点分析法从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”，逐步的推理，实际上是寻找它的充分条件.它叙述冗长，但常常根底渐近，有希望成功.综合法从“已知”看“可知”，渐渐推向“未知”，逐步的推理，实际上是寻找它的必要条件.它形式简洁，条理清晰，逻辑结构严谨，但往往枝节丛生，难以一下子达到目的.注：我们在实际解题时，应把两种方法结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程，这就达到了扬长避短、相互协调、相得益彰的良好目的.3、综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：；（）；（）；（a，b同号），（）。【典型例题】例1.已知a、b、c是不全等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc.【分析】采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab.证明： b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc.①同理b（c2+a2）≥2abc②c（a2+b2）≥2abc③ a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号∴①+②+③，得a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc.例2.已知，求证：。证法一（综合法）：证法二（分析法）：，为了证明，只需证明，即，即，，即.成立，成立说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面，分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推.例3.已知a，b，c∈R+，求证：（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；分析：用综合法证明，注意构造定理所需条件.证明：（1）ab+a+b+1=（a+1）（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）（b+c）.∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥16abc因此，当a，b，c∈R+，有（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc.说明：用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘.例4.已知：a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b＋ab2.求差比较证法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）=（a＋b）（a2-2ab＋b2）=（a＋b）（a-b）2.由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2.分析法：证法2：欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，故只需证a2-ab＋b2＞ab，即证a2-2ab＋b2＞0，即证（a-b）2＞0，因为a≠b，所以（a-b）2＞0成立，所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立.综合法：证法3：由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，则a2-ab＋b2＞ab又a＋b＞0，则（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），即a3＋b3＞a2b＋ab2.注：熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种方法进行了证明，开阔了思路.应学会针对具体题目，灵活地选取方法.例5.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明：①当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除②假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13...
