高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是()A．15B．255C．16D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第4项是()A．B．C．D．答案C解析a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝．3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析 ∴∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2．6．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2011＝________；a2018＝________．答案01解析 a2011＝a503×4－1＝0，∴a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1．知识点二利用数列的递推公式求通项公式7．数列{an}满足递推公式a1＝5，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，，，2an＝解析由＝(n≥2，n∈N*)，得＝，＝，…，＝(n≥2，n∈N*)，将以上各式两两相乘得＝··…·＝，所以an＝(n≥2，n∈N*)，又a1＝5符合上式，所以其通项为an＝．1所以a1＝5，a2＝，a3＝，a4＝2．8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解累加法：an－an－1＝＝－，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－，累加可得an－a1＝1－．又a1＝1，所以an＝2－．易错点一忽略数列中第1项9．在数列{an}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足an＝an＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解an＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知an＋1－an＝－2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．易错点二对递推公式变形时忽略n取值的变化而致错10．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，求an．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…an－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，因此两式相除得到an＝也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断定an＝是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…an－1＝(n－1)2，两式相除得an＝(n≥2，n∈N*)，故an＝一、选择题1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是()A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点答案D解析 an＝3n－2，n∈N*，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－B．C．－D．答案B解析 a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×－＝－，2a5＝(－1)5×2×－＝．3．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析 f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，f(n＋1)>f(n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝()A．－7B．3C．15D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是()A．4B．4C．4D．4答案D解析由题知：an＋1＝，a3＝＝，a4＝＝4，a5＝＝，a6＝＝，故an＝．所以a20＝＝＝4．故选D．二、填空题6．在数列{an}中，an＝2n＋1，对于数列{bn}，b1＝...