§7.4基本不等式及其应用1．如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥(当且仅当a＝b时取等号)．4．基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.简记为：积定和最小．6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.简记为：和定积最大．7．拓展：若a＞0，b＞0时，≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．自查自纠1.2.3.2ab4.≥5．最小值22ab6．ab≤2ab≤(a＋b)2ab≤7.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4C．2D．2解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.()已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为()A.B．1C．2D．4解：依题意得2a＝2－b，即2a＋b＝2(a＞0，b＞0)，∴2＝2a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号，∴ab的最大值是.故选A.设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q解：p＝f()＝ln，q＝f＝ln，r＝(f(a)＋f(b))＝lnab＝ln，函数f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增， ＞，∴f＞f()．∴q＞p＝r.故选C.()若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2，当且仅当x＝±时等号成立．故填2.()已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则实数a＝________.解：f(x)＝4x＋≥2＝4(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，∴＝3，∴a＝36.故填36.类型一利用基本不等式求最值(1)函数y＝(x＞－1)的值域为________．解： x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)()如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.解：当m＝2时，易得n－8＜0，n＜8，此时mn＜16.当m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－.据题意：①当m＞2时，－≥2，即2m＋n≤12. ≤≤6，∴mn≤18.由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6.②当m＜2时，抛物线开口向下，据题意：－≤，m＋2n≤18. ≤≤9，∴mn≤.由2n＝m且m＋2n＝18，得m＝9＞2，故应舍去．要使mn取得最大值，应有m＋2n＝18(8＜n＜9)．此时mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.综合①②可得最大值为18.故选B.【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向和对称轴，根据所给单调区间找到m、n满足的条件，再利用基本不等式求解．(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为．解： t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值．解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝， x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．类型二利用基本不等式求参数范围()已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．3解： a>0，b>0，∴由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立． ＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，∴m≤16，即m的最大值为16.故选B.【点拨】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，...
