第4讲平面向量的应用举例1．(2016年湖北优质高中联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.B.C．－D.－2．(2017年广西南宁第二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝()A．－B.C．－D.3．在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AD·BE＝1，则AB的长为________．4．(2014年新课标Ⅰ)已知A，B，C是圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为__________．5．(2014年江苏)如图X441，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD＝______.图X4416．(2015年安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.7．(2015年天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和CD上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．8．(2015年上海)已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且{|a|，|b|，|c|}＝{1,2,3}，则|a＋b＋c|的最大值是____________．9．已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．10．如图X442，已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆E：＋＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求AP·AQ的取值范围．图X442第4讲平面向量的应用举例1．A解析：a－c＝(3－k,3)，因为(a－c)∥b，所以(3－k)×3＝3×1.解得k＝2.当k＝2时，cos〈a，c〉＝＝＝.故选A.2．A解析：由等边三角形的性质，得|AD|＝|BE|＝，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝|AD||BE|·cos〈AD，BE〉＝××＝－.故选A.3．6解析：BE＝BC＋CE＝AD－AB，AD·BE＝AD·＝AD2－AD·AB＝|AD|2－|AD|×|AB|cos60°＝4－×2|AB|×cos60°＝1，则AB的长为6.4．90°解析：AO＝(AB＋AC)，则O为BC的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以AB与AC垂直．5．22解析：由题意，得AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64.解得AB·AD＝22.6．①④⑤解析：∵△ABC是边长为2的等边三角形，AB＝2a，|AB|＝2|a|＝2，|a|＝1，故①正确；AC＝AB＋BC＝2a＋b，∵AB＝2a，∴BC＝b.∴|b|＝2，故②错误且④正确；∵AB＝2a，BC＝b，∴a与b的夹角为120°，故③错误；(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×＋22＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确．7.解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，得AD·BC＝，AB·AD＝1，DC＝AB，所以AE·AF＝(AB＋BE)·(AD＋DF)＝·＝AB·AD＋BC·AD＋AB2＋BC·AB＝1＋＋－＝.8．3＋解析：因为a⊥b，设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(3cosθ，3sinθ)，θ∈[0,2π)，所以a＋b＋c＝(1＋3cosθ，2＋3sinθ)．所以|a＋b＋c|2＝(1＋3cosθ)2＋(2＋3sinθ)2＝14＋6sin(θ＋φ)，其中sinφ＝＝.所以当sin(θ＋φ)＝1时，|a＋b＋c|取得最大值，即＝3＋.9．解：(1)f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T＝＝π.所以f(x)＝sin，最小正周期为π.(2)当x∈时，∈，由函数y＝sinx在上的图象知，f(x)＝sin∈＝.所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.10．解：(1)将点A(3,1)代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m＜3，∴m＝1，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.∵直线PF1与圆C相切，C(1,0)，∴＝.解得k＝或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴交点的横坐标为，不合题意；当k＝时，直线PF1与x轴交点的横坐标为－4.∴|OF1|＝c＝4，即F1(－4,0)，F2(4,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝6.∴a＝3，a2＝18，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)AP＝(1,3)，设Q(x，y)，则AQ＝(x－3，y－1)，AP·AQ＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18.∴x2＋(3y)2≥2|x||3y|，∴－18≤6xy≤18.则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy∈[0,36]，即x＋3y∈[－6,6]．∴AP·AQ的取值范围是[－12,0]．
