高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.7 空间向量及其运算课时规范训练 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何7.7空间向量及其运算课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·孝感模拟)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．0°B．30°C．60°D．90°解析： a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，sinθ＋cosθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)．∴(a＋b)·(a－b)＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＋2×0＋(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝cos2θ－sin2θ＋sin2θ－cos2θ＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．即向量a＋b与a－b的夹角是90°.答案：D2．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a等于()A．16B．4C．2D．8解析：PA＝(－1，－3,2)，PB＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB(x、y∈R)，则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案：A3．(2016·西安质检)若平面α，β的法向量分别是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上答案均不正确解析： n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，且不共线．∴α与β相交但不垂直．答案：C4．(2016·黄州模拟)已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|3a－2b|＝________.解析： |a|＝|b|＝|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4即4－2a·b＋4＝4.解得a·b＝2，∴|3a－2b|2＝9a2－12a·b＋4b2＝36－12×2＋16＝28，∴|3a－2b|＝2.答案：25．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝________解析：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案：06．如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为________．解析：由于点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.∴点D的竖坐标z＝4×sin30°×sin60°＝，纵坐标y＝－(2－4×sin30°×cos60°)＝－1.∴D(0，－1，)．∴|AD|＝＝.答案：7．(2016·宜昌模拟)如图ABCD－A1B1C1D1是正方体，M、N分别是线段AD1和BD的中点．(1)证明：直线MN∥平面B1CD1；(2)设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长．解：(1)证明：连接CD1、AC，则N是AC的中点，在△ACD1中，又M是AD1的中点，∴MN∥CD1.又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，∴MN∥平面B1CD1.(2)由条件知B1(a，a，a)，M，∴|B1M|＝＝a.即线段B1M的长为a.[B级能力突破]1．(2016·黄冈模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析：设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，则CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，∴cos〈CM，D1N〉＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝.答案：B2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案：D3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.B.C.D.解析：如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.由条件知MN＝MA＋AB＋BN＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c∴MN2＝a2＋b2＋c2＝∴|MN|＝.答案：A4．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角为60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．解析：①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1A2＋A1D12＋A1B12＝3(A1B1)2，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1， AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0，故④也不正确．答案：①②5．空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60...