江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析11：平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1．（浙江卷）设向量满足,,则(A)1(B)2(C)4(D)52．（天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心3．（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A.B.C.D.4．（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.[0,]B.C.D.5．（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为A．B．C．D．6．（山东卷）设向量a=(1,－2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6)(B)(－2,6)(C)(2,－6)(D)(－2,－6)7．(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）（A）＝；（B）＋＝；（C）－＝；（D）＋＝．8．（北京卷）若三点共线，则的值等于_________.9．（2005年全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（10，－5）10．（湖南卷）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则ADCB图1ABCD＝.【典型考例】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b=(－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e=±方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知，故填(,-)或(,-)方法二与向量b=(-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值. |x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b=7a·b－2a2－3b2=7×－2－3=－，又 x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，∴cosθ=－点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b,=a,=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.【考型2】向量共线与垂直条件的考查例3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足，其中，∈R且+=1，求点C的轨迹方程。.解：（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)∴,（可从中解出α、β）又 α+β＝1消去α、β得x+2y-5=0（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，例4．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x＝(,),y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y故x·y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.法二： a＝(，－1)，b＝(,),∴.＝2，＝1...
